Conjuntos Difusos Operações: Definição e nomenclatura Tipos Axiomas Complemento – ponto de equilíbrio e ponto dual Intersecção União Definição e nomenclatura Tipos Axiomas Relações Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Conjuntos Fuzzy: operações Complemento: A(x) Intersecção: (AB) (x) União: (AB) (x) NÃO E OU Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Nomenclatura: Operações Fuzzy NÃO : Complemento : complemento E : Intersecção : t - normas OU : União : t - conormas Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Complemento Fuzzy: A(x) ou cA(x) Seja A um conjunto fuzzy em X A(x): grau de pertinência de x ao conjunto A Notação: cA é o complemento fuzzy do tipo c de A cA(x) O complemento cA é definido pela função c: [0; 1]  [0; 1] Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Complemento Fuzzy: exemplo 1 a 0.5 c(a) 0.5 c(a) = ( 1 +cos   ) / 2 Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Complemento Fuzzy: tipos Complementos tipo threshold Complementos involutivos de Sugeno Complementos involutivos de Yager Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Complemento Fuzzy: tipos Complementos tipo threshold : 1 t a c(a) c(a) = 1 para a t = 0 para a  t Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Complemento Fuzzy: tipos Complementos involutivos de Sugeno: 1 a c(a) 0.5 c(a) = ( 1 - a) / ( 1+  a) para   (-1 ; ) Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Complemento Fuzzy: tipos Complementos involutivos de Yager: c(a) 1 0.5 a 0.5 1 c(a) = ( 1 - a w ) 1/w para w  ( 0; ) Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Complemento Fuzzy: axiomas a1. Condições Limites: c(0) = 1 e c(1) = 0 a2. Monotonicidade:  a, b  [0 ; 1] se a b então c(a) c(b) a3. Contínua a4. Involutiva: c(c(a)) = a para a  [0; 1] Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Complemento Fuzzy: teoremas Teo.1: “ Todo complemento fuzzy tem pelo menos um ponto de equilíbrio ec” ec é a solução para c(a) - a = 0 Teo.2: “Se c é um complemento contínuo fuzzy então c tem um único ponto de equilíbrio ec” Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Ponto de Equilíbrio: c(a) - a =0 c(a) = ( 1 - a) / ( 1+  a) para   (-1 ; ) Complementos involutivos de Sugeno: -1 0 1 2 3 1 0.5  ec c(a) 1 0.5 0.5 1 a ec = 0.5 para  = 0 ec = (( 1+)1/2 - 1 )/  para  0 Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Complemento Fuzzy: ponto dual da Seja um complemento fuzzy c Seja um grau de pertinência a representado por um número real a  [0; 1] tal que a - c(a) = c(da) -da da é chamado ponto dual de a em relação a c. Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Intersecção Fuzzy: t-normas Notação: A(x) = a B(x) = b (AB)(x) = i [A(x), B(x)] = i (a, b) I : [0, 1] x [0, 1]  [0, 1] Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Intersecção Fuzzy ( t – normas): tipos Padrão Produto Algébrico Diferença Limitada Drástica Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Tipos de t- normas: i (a, b) Intersecção Padrão: i (a, b) = min (a, b) Produto Algébrico: i (a, b) = a*b Diferença Limitada: i (a, b) = max ( 0, a+b-1) Intersecção Drástica: i min (a, b) i(a, b) = a para b=1 b para a=1 0 para outros valores Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Intersecção Fuzzy (t-normas): axiomas Para todo a, b e d  [0, 1] tem-se: a1. Condição Limite: i (a, 1) = a a2. Monotonicidade: se b  d então i(a, b)  i(a, d) a3.Comutatividade: i (a, b) = i (b, a) a4. Associatividade: i (a, i(b, d)) = i ( i(a, b), d) Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Intersecção Fuzzy (t-normas): axiomas adicionais Para todo a, b e d  [0, 1] tem-se: a5. Continuidade: i é uma função contínua a6.Sub-Idempotência: i(a, a) < a a7.Strict Monotonicidade: se a1 a2 e b1 b2 então i(a1, b1) < i(a2, b2) t-norma de Arquimedes: a5 e a6 Strict t-norma de Arquimedes:: a5, a6 e a7 Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Relação de t-normas: Produto Diferença Drástica Algébrico Padrão Limitada Produto Algébrico Drástica Padrão imin(a, b)  max( 0, a+b-1)  (a*b)  min (a, b) relaxamento arrocho Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

t - normas: classe de Yager Complementos involutivos de Yager: Seja iw as t-normas para a classe de Yager então: imin (a, b)  iw (a, b)  min (a, b) c(a) = ( 1 - a w ) 1/w para w  ( 0; ) Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

União Fuzzy: t-conormas Notação: A(x) = a B(x) = b (AB)(x) = u [A(x), B(x)] = u (a, b) U : [0, 1] x [0, 1]  [0, 1] Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

União Fuzzy (t-conormas) : tipos Padrão Soma Soma Limitada Drástica Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Tipos de t-conormas: u (a, b) União Padrão: u (a, b) = max (a, b) Soma Algébrica: u (a, b) = a+b -a*b Soma Limitada: u (a, b) = min ( 1, a+b) União Drástica: u max (a, b) u (a, b) = a para b= 0 b para a= 0 1 para outros valores Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

União Fuzzy (t-conormas) : axiomas Para todo a, b e d  [0, 1] tem-se: a1. Condição Limite: u (a, 0) = a a2. Monotonicidade: se b  d então u(a, b)  u(a, d) a3.Comutatividade: u (a, b) =u (b, a) a4. Associatividade: u (a, u(b, d)) = u ( u(a, b), d) Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

União Fuzzy (t-conormas) : axiomas adicionais Para todo a, b e d  [0, 1] tem-se: a5. Continuidade: u é uma função contínua a6.Super-Idempotência: u (a, a)  a a7.Strict Monotonicidade: se a1 a2 e b1 b2 então u(a1, b1) < u(a2, b2) t-conorma de Arquimedes: a5 e a6 Strict t-conorma de Arquimedes: a5, a6 e a7 Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br

Relações: t-normas e t-conormas max (a, b)  a+b - a*b  min (1, a+b)  umax (a, b) Arrocho Relaxa- mento imin(a, b)  max( 0, a+b-1)  (a*b)  min (a, b) t-normas drástica dif.limitada prod.algébrico padrão padrão soma algébrica soma limitada drástica t-conormas Silvia Modesto Nassar silvia@inf.ufsc.br