Introdução à Integrais – Antiderivação Aula 01 – Matemática II – Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

Como podemos usar a inflação para prever preços futuros? Como usar o conhecimento de taxa de crescimento de uma população para estimar o número futuro de habitantes? Qual será a velocidade de um corpo que se move em linha reta com aceleração conhecida?

Esse processo é chamado antiderivação. Em todas as situações descritas anteriormente, a derivada (taxa de variação) de uma grandeza é conhecida e estamos interessados em determinar o valor da própria grandeza. Esse processo é chamado antiderivação.

A Família de Antiderivada Se a derivada de 𝐹 for 𝑓, dizemos que 𝐹 é uma antiderivada de 𝑓. Por exemplo: 𝑥² Derivada: 2𝑥 𝑥² é uma antiderivada de 2𝑥

Se C for uma constante, temos: 𝑥 2 +1 𝑥²+2 𝑥 2 +3 Derivada: 2𝑥 Observe que 2𝑥 tem várias antiderivadas: Se C for uma constante, temos: 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 2 +𝐶 =2𝑥+0=2𝑥 Portanto, qualquer função sob a forma 𝑥² +𝐶 é uma antiderivada de 2𝑥. A função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 tem uma família de antiderivadas.

A visualização gráfica das antiderivadas

A Integral Indefinida 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=𝐹 𝑥 +𝐶 Se 𝐹(𝑥) é uma antiderivada da função contínua 𝑓(𝑥), todas as antiderivadas de 𝑓(𝑥) têm a forma 𝐹(𝑥) + 𝐶, onde 𝐶 é uma constante. Representamos a família de todas as antiderivadas de 𝑓(𝑥) usando a simbologia: 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=𝐹 𝑥 +𝐶 Que é chamado de Integral Indefinida de 𝑓(𝑥). A integral é indefinida porque envolve uma constante C que pode assumir qualquer valor.

Variável de Integração Integrando Constante de integração 3 𝑥 2 𝑑𝑥= 𝑥 3 +𝐶 Variável de Integração Símbolo de Integral

Integral Indefinida 𝑓 𝑥 𝑑𝑥=𝐹 𝑥 +𝐶 𝐹′(𝑥)𝑑𝑥=𝐹 𝑥 +𝐶 𝑑𝐹 𝑑𝑥 𝑑𝑥=𝐹 𝑥 +𝐶

Regras para Integrar Funções Comuns Regra da Constante: 𝒌𝒅𝒙=𝒌𝒙+𝑪 para C constante. Regra da Potência: 𝒙 𝒏 𝒅𝒙= 𝒙 𝒏+𝟏 𝒏+𝟏 +𝑪 para qualquer 𝑛≠−1 Regra do Logaritmo: 𝟏 𝒙 𝒅𝒙= 𝐥𝐧 𝒙 +𝑪 para qualquer 𝑥≠0 Regra da Exponencial: 𝒆 𝒌𝒙 𝒅𝒙= 𝟏 𝒌 𝒆 𝒌𝒙 +𝑪 para qualquer k constante ≠0. 𝑥 𝑛 𝑑𝑥= ln 𝑥+𝐶 para n = -1

Exemplos: Determinar as seguintes integrais: 5𝑑𝑥 𝑥 20 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 −3𝑥 𝑑𝑥

Exercícios: Calcule as seguintes integrais: 6𝑥 𝑑𝑥 (𝑥 2 −4𝑥+7)𝑑𝑥 (𝑥+ 𝑒 𝑥 )𝑑𝑥 𝑥 3 𝑑𝑥 (𝑥 2 + 1 𝑥² )𝑑𝑥 1+𝑦² 𝑦 𝑑𝑦 12 𝑥 𝑑𝑥

Problemas Práticos Determinar a função f(x) cuja tangente tem uma inclinação de 6x²+1 para qualquer valor de x e cuja curva passa pelo ponto (1, 4).

Problemas práticos de valor inicial Equação diferencial é qualquer equação que envolve uma ou mais derivadas. As equações diferenciais são muito usadas em modelagem e aparecem em uma grande variedade de aplicações práticas do cálculo. Problema de valor inicial é um problema que envolve a solução de uma equação diferencial sujeita a uma condição inicial específica. como o exemplo anterior.

Outros exemplos 2. Um fabricante constatou que o custo marginal é de 3q² - 60 q + 400 reais por unidade, onde q é o número de unidades produzidas. O custo total para produzir as primeiras duas unidades é de R$ 900,00. Qual é o custo total para produzir as primeiras cinco unidades? Custo marginal representa o acréscimo de custo total que ocorre quando se aumenta a quantidade de bens produzida em uma unidade (ou a redução de custo total após a redução a uma unidade na quantidade produzida).

3. A população P(t) de uma colônia de bactérias t horas depois de iniciada uma observação está variando a uma taxa dada por 𝑑𝑃 𝑑𝑡 =200 𝑒 0,1𝑡 +150 𝑒 −0,03𝑡 Se a população era de 200.000 bactérias quando a observação começou, qual será a população após 12 horas mais tarde?

4. Um varejista recebe um suprimento de 10 4. Um varejista recebe um suprimento de 10.000 quilogramas de arroz que serão vendidos durante um período de 5 meses à taxa constante de 2.000 quilogramas por mês. Se o custo de armazenamento é de 1 centavo por quilograma por mês, qual será o custo total do armazenamento durante os próximos 5 meses?

5. Depois que os freios são acionados, um carro perde velocidade à taxa constante de 6 metros por segundo por segundo. Se o carro está a 65 quilômetros por hora quando o motorista pisa no freio, que distância o carro percorre até parar?