Sistemas e Sinais (LEIC) – Resposta em Frequência

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1 Sistemas e Sinais (LEIC) – Resposta em Frequência
Carlos Cardeira Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya)

2 Sumário Definições Sistemas sem memória Sistemas causais
Sistemas Invariantes no Tempo Sistemas Lineares Resposta em Frequência

3 Definições x  Entradas = [tempo → Reais ou Complexos]
y S x  Entradas = [tempo → Reais ou Complexos] y  Entradas = [tempo → Reais ou Complexos] Tempo = Inteiros ou Reais

4 Exemplos (contínuos) Ganho K Delay T Média Móvel

5 Exemplos (contínuos) Reverse Fast Forward Câmara Lenta Energia

6 Definições: Resposta Impulsiva
A saída do sistema pode-se calcular através da convolução da resposta impulsiva com a entrada

7 Exemplos (discretos) Ganho K Delay T (T inteiro) Média Móvel

8 Exemplos (discretos) Reverse Down Sample (subamostrar)
Up Sample (sobreamostrar, introduzindo zero ou outro valor, nos pontos não definidos)

9 Resposta Impulsiva (discretos)
A saída do sistema pode-se calcular através da convolução da resposta impulsiva com a entrada

10 Sistema sem memória Um sistema S não tem memória se existir uma função tal que: Exemplos: Sem memória Sem memória Com memória

11 Definições: Sistema causal
Um sistema S é causal se a saída não depender de entradas futuras: Se duas entradas forem iguais até um determinado instante t, a saída, até esse instante, é igual para ambas

12 Causalidade O sistema é causal porque para entradas x e w, iguais até ao instante t, produz a mesma saída S(x) e S(w).

13 Definições: Sistema Invariante no tempo
Considere-se a função Delay Um sistema é invariante no tempo se, para qualquer delay T, tivermos: Ou seja:

14 Exemplo: Sistema Invariante no tempo
Atrasar uma entrada produz um atraso equivalente na saída. As funções atraso e S podem ser aplicadas na ordem que quisermos.

15 Exemplos S(x)(t)=x(t+3) DT o S = x(t+3-T) S o DT = x(t-T+3)
O sistema é invariante no tempo

16 Exemplos S(x)(t)=x(-t)
DT o S = DT (S(x)(t))(t)= DT (x(-t))(t) =x(-t-T) S o DT = S(DT(x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=x(-t+T) Não é Invariante no Tempo

17 Exemplos S(x)(t)=(x(t-1))2
DT o S = DT (S(x)(t))(t)= DT ((x(t-1))2)(t) =(x(t-T-1))2 S o DT = S(DT(x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=(x(t-T-1))2 É causal

18 Exemplos É invariante no tempo
Não é invariante no tempo. Só o seria se a função x fosse nula para t<a

19 Exemplos - Convolução É invariante no tempo

20 Linearidade S(x+w)=S(x)+S(w) S(ax)=aS(x) S(ax+bw)=aS(x)+bS(w)
S(0) tem que ser 0 porque senão não seria possível garantir S(ax)=aS(x) para qualquer ‘a’

21 Linearidade

22 Exemplos Média Móvel Delay Ganho Reverse Linear Invariante no Tempo
Não Invariante no Tempo

23 Exemplos Fast Forward Câmara Lenta Energia Convolução Linear
Não Invariante no Tempo Câmara Lenta Energia Não Linear Invariante no Tempo Convolução

24 Resposta em Frequência
Teorema: Se a entrada for uma exponencial complexa (eiwt) de determinada frequência, a saída também terá a mesma frequência H(w) é a resposta em frequência do sistema

25 Exemplo:

26 Exemplo: |H(w)| Filtro passa baixo

27 Exemplo: fase

28 Cálculo da Resposta em Frequência
O circuito RC (se normalizado de forma a R=C=1) tem a forma: Qual será a resposta em frequência ?

29 Cálculo da Resposta em Frequência do circuito R/C
Filtro passa baixo

30 Exemplo: Resposta em Frequência da Média Móvel

31 Exemplo: Resposta em Frequência da função Delay
A amplitude mantém-se, apenas a fase do sinal varia

32 Exemplo: Resposta em Frequência da função GanhoK
A amplitude é multiplicada por K, a fase mantém-se

33 Resposta em Frequência

34 Linear e Invariante no Tempo
Linear porque as derivadas são operadores lineares Invariante no tempo se ai e bi não dependerem de t

35 Causalidade e Resposta Impulsiva
Considere-se um sistema definido pela convolução:

36 Resposta em Frequência
A resposta em frequência de um sistema definido pela convolução da entrada com a resposta impulsiva é: O que significa que a resposta em frequência de um sistema é a transformada de Fourier da resposta impulsiva

37 Resposta em Frequência de Sistemas Discretos
Analogamente:

38 Exemplo: média móvel

39 Exemplo: média móvel + autoregressão
De uma forma geral, a componente média móvel fica no numerador e a componente autoregressiva no denominador. Consegue-se escrever a resposta em frequência sem ter que fazer as contas

40 Exemplo: equação às diferenças genérica

41 Peridicidade da resposta em frequência para sistemas discretos
Mas como x(n)=x’(n) : Em sistemas discretos, H(w) tem sempre período 2 E, por convenção, desenha-se apenas entre -  e  ou então apenas entre 0 e  porque a função é par

42 Resposta em frequência de dois sistemas LTI em cascata
A resposta em frequência é o produto das respostas em frequência de cada sistema H(w) G(w) ejwt H(w)ejwt H(w)G(W)ejwt

43 Resposta em Frequência de dois sistemas com feedback
E(w)ejwt Y(w)ejwt 1.ejwt H + G R(w)ejwt Y(w)=E(w).H(w) R(w)=Y(w).G(w) E(w)=1+R(w)

44 Resposta em Frequência de sistemas com feedback
Y(w)=E(w).H(w) R(w)=Y(w).G(w) E(w)=1+R(w) Y(w)=(1+R(w)).H(w)= =(1+Y(w).G(w))H(w) Y(w)=H(w)/(1-G(w)H(w))

45 Amplitude e fase H(w)=|H(w)|e H(w) ,H(w) representa o angulo de H(w) com o eixo real |H(w)| é a amplitude da resposta em Freq.  H(w)) é a fase da resposta em frequência

46 Exemplo: y(n)=1/2(x(n)+x(n-1)) H(w)=1/2(1+e-jw)
|H(w)|=1/2 |1+cos(w)-jsin(w)|= =1/2 sqrt((1+cos(w)) 2+sin2(w)) H(w)=-atan(sin(w)/(1+cos(w))

47 Exemplo: >> w=-2*pi:pi/1000:2*pi; %embora bastasse de 0 a pi
>> H=(1+exp(-i*w))/2; >> subplot(2,1,1) >> plot(w,abs(H)) >> subplot(2,1,2) >> plot(w,angle(H))

48 Exemplo

49 Decibels É vulgar medir a amplitude em dB

50 Propriedades (sinais reais)

51 Propriedades Se a entrada for periódica de período p a saída é periodica com o mesmo período Como cos(wt)=cos(-wt) teremos H(w)=H*(w) |H(w)|=|H(-w)| → amplitude é par H(w)=-H(-w) → fase é ímpar

52 Propriedades (Discretos)

53 Exemplo de feedback para aumentar a largura de banda

54 Exemplo de feedback para aumentar a largura de banda

55 Feedback para melhorar a resposta em frequência
Se se pretende que o sistema responda mais rapidamente a resposta às altas frequências tem que melhorar À parte o problema das saturações este é um mecanismo usado em robôs.

56 Propriedades (Discretos)
Se a entrada for periódica de período p a saída é periodica com o mesmo período Como cos(wn)=cos(-wn) teremos H(w)=H*(w) |H(w)|=|H(-w)| → amplitude é par H(w)=-H(-w) → fase é ímpar E porque ejwn=ej(w+2)n Temos: H(w)=H(w+2) (em sistemas discretos a resposta em frequência é periódica)

57 Coeficientes da Série de Fourier

58 Série de Fourier A0 é a componente DC (valor médio do sinal)
Permite representar qualquer sinal periódico Se o sinal não for periódico mas for finito (no tempo), pode também ser representado por uma série se o replicarmos ao longo do tempo.

59 A forma exponencial é mais prática

60 Equivalência entre as formas exponencial e coseno
Xk e X-k são Complexos Conjugados

61 Obtenção dos coeficientes Ak e partir de Xk

62 Cálculo dos coeficientes Xn

63 Cálculo dos Coeficientes

64 Base As funções que compõem a série de Fourier constituem uma base.
Qualquer função pode ser representada por uma combinação linear delas.

65 Cálculo dos Coeficientes (tempo discreto)

66 Cálculo de X (discreto)
Multiplicando ambos os lados por exp(-jkwon)

67 Cálculo dos Coeficientes (tempo discreto)

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