Introdução à Trigonometria

Apresentação em tema: "Introdução à Trigonometria"— Transcrição da apresentação:

1 Introdução à Trigonometria
Circunferência e Relações Trigonométricas

2 CICLO ou CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
y B P + 1 A’ A O x 1 - B’

3 Sistema de coordenas ortogonais;
Circunferência de centro na origem do sistema, de raio unitário r = 1; Arcos de origem ponto A (1,0); Medidas algébricas positivas no sentido anti-horário, negativas sentido horário; Divisão dos quatros quadrantes sentido anti-horário

4 SENO

5 SENO marcado no eixo Y varia de –1 até 1  -1  sen  1 sinal do seno:
B A’ A O x -1 B’

6 COSSENO

7 COSSENO marcado no eixo X varia de –1 até 1  -1  cos  1
sinal do cosseno: y B A’ A O x B’

8 SENO E COSSENO y B sen  P N A’ A  O x M cos  B’

9 Fatec- Se x é um arco do 3º quadrante e cos x = -4/5, então sen x é igual a:
3/5 -3/5 -9/25 -16/9

10 TANGENTE y t B t // y M P tg  A’ A  O x B’

11 TANGENTE marcada numa reta paralela ao eixo y
varia de –  até   -   tg   sinal da tangente: y B A’ A O x B’

12 SENO, COSSENO E TANGENTE
y tg a sen a a A cos a x

13 ARCOS NOTÁVEIS sen tg cos 90° 180° 270° 0°/360° 120° 240° 300° 60°
tg 90° 180° 270° 0°/360° 120° 240° 300° 60° 135° 225° 315° 45° 30° 150° 210° 330°

14 SENO, COSSENO E TANGENTE DE ARCOS NOTÁVEIS DO 1º. QUADRANTE
Ângulos complementares sen x= cos(90-x)

15 UFJF- O valor de sen² 10 + sen²20+...+sen²70+sen²80+ sen² 90 é:
-1 1 2 4 5

16 SIMETRIA DE ARCOS 150o 30o 1/2 210o 330o

17 SIMETRIA DE ARCOS 45o 135o 225o 315o

18 SIMETRIA DE ARCOS 120o 60o 1/2 240o 300o

19 GENERALIZANDO: De um modo geral: 180o - a a A 360o - a 180o + a

20 UFJF- Dois ângulos distintos, menores que 360°, têm, para seno, o mesmo valor positivo. A soma desses ângulos é igual a: a) 45° b) 90° c) 180° d) 270° e) 360°

21 REDUÇÃO AO 1º. QUADRANTE 1º. Caso: ângulo do 2º. quadrante /2
O x y /2  x a 3/2 2 a = ( - x) sen ( - x) = sen x cos ( - x) = - cos x tg ( - x) = - tg x

22 REDUÇÃO AO 1º. QUADRANTE 2º. Caso: ângulo do 3º. quadrante /2
O x y /2  x a 3/2 2 a = ( + x) sen ( + x) = - sen x cos ( + x) = - cos x tg ( + x) = tg x

23 REDUÇÃO AO 1º. QUADRANTE 3º. Caso: ângulo do 4º. quadrante /2
O x y /2  x a 3/2 2 a = (2 - x) sen (2 - x) = - sen x cos (2 - x) = cos x tg (2 - x) = - tg x

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26 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
I. sen2 x + cos2x = 1 II. tg x = x cos sen III. cotg x = x sen cos tg 1 = IV. sec x = x cos 1 IV. sec x = x cos 1

27 SOMA E DIFERENÇA DE ARCOS
a) cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b b) cos (a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b c) sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a d) sen (a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a

28 SOMA E DIFERENÇA DE ARCOS
b a.tg tg 1 a - + b) tg(a = f) b) - tg(a b a.tg tg 1 a + =

29 ARCOS DUPLOS a) cos(2a) = cos2a – sen2a b) sen(2a) = 2.sen a.cos a
c) tg(2a) = x tg2 1 2.tg 2 - 29

30 1-) FUVEST- Calcule o valor de
(tg10° + cotg10°)sen20° 1 2 3 4

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32 UFJF- Sendo x+y=60º, o valor de (cosx+ cosy)² + (senx + seny)²-2 é:
-1/2 1 2

33 CESGRANRIO- Se senx – cosx = ½ o valor de senx cosx é igual a:
-3/16 -3/8 3/8 3/2

34 ARCOS METADE 2 cosx 1 x cos a) + ± = 2 cosx - 1 x sen b) ± = cosx 1 -
tg c) + =

35 TRANSFORMAÇÃO DE SOMA EM PRODUTO
2 q p .cos 2sen senq senp a) - + = 2 q p .cos - 2sen senq senp b) + = 2 q p .cos 2cos cosq cosp c) - + = 2 q p .sen 2sen cosq cosp d) - + =

36 f(x) = sen x Estudo da função seno x sen x /6 /4 /3 /2 2/3 3/4
/6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6  7/6 5/4 4/3 3/2 5/3 7/4 11/6 2 Estudo da função seno f(x) = sen x 36

37 Estudo da função seno Observações:
1ª) O domínio de f(x) = sen x é , pois para qualquer valor real de x existe um e apenas um valor para sen x. 2ª) O conjunto imagem de f(x) = sen x é o intervalo [1,1]. 3ª) A função seno não é sobrejetora, pois [1,1]  , isto é, sua imagem não é igual ao contradomínio. 4ª) A função seno não é injetiva, pois para valores diferentes de x temos o mesmo f(x). Por exemplo, 5ª) A função seno é função ímpar, isto é, qualquer que seja xD(f) = temos sen x = sen (x). Por exemplo,

38 Estudo da função seno Periodicidade:
O período da função seno é de 2 e indicamos assim: p = 2

39 Estudo da função seno Sinal: A função é positiva para valores do 1º e 2º quadrantes e negativa para valores do 3º e 4º quadrantes.

40 f(x) = cos x Estudo da função cosseno x cos x /6 /4 /3 /2 2/3
/6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6  7/6 5/4 4/3 3/2 5/3 7/4 11/6 2 Estudo da função cosseno f(x) = cos x

41 Estudo da função cosseno
Observações: 1ª) A cossenoide não é uma nova curva, e sim uma senoide transladada /2 unidades para a direita. A maioria dos aspectos relevantes da função cosseno são os mesmos da função seno. 2ª) O domínio é o mesmo: D = 3ª) A imagem é a mesma: Im = [1,1]. 4ª) O período é o mesmo: p = 2. 5ª) A função cosseno não é nem injetiva. 6ª) A função cosseno é par, pois temos cos x = cos (x).

42 Estudo da função cosseno
A função é positiva para valores do 1º e 4º quadrantes e negativa para valores do 2º e 3º quadrantes. Sinal:

43 f(x) = tg x Estudo da função tangente x cos x /6 /4 /3 /2 2/3
/6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6  7/6 5/4 4/3 3/2 5/3 7/4 11/6 2 Estudo da função tangente f(x) = tg x

44 Estudo da função tangente
Observações: 1ª) Domínio: 2ª) Imagem: Im = . 3ª) A função tangente não é injetiva, mas é sobrejetiva. 4ª) A função tangente é função ímpar, isto é, tg x =  tg (x). 5ª) Período: p = .

45 Estudo da função tangente
Sinal: A função é positiva para valores do 1º e 3º quadrantes e negativa para valores do 2º e 4º quadrantes.

46 Funções trigonométricas
x sen x y = 2 + sen x

47 Funções trigonométricas
x 2x y = cos 2x

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49 FUVEST- A figura a seguir mostra parte do
gráfico da função: Senx 2senx/2 2senx 2sen2x sen2x

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51 Lei dos senos C a b B A c

52 Lei dos Cossenos C a b B A c

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