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Introdução à Trigonometria Circunferência e Relações Trigonométricas.

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Apresentação em tema: "Introdução à Trigonometria Circunferência e Relações Trigonométricas."— Transcrição da apresentação:

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2 Introdução à Trigonometria Circunferência e Relações Trigonométricas

3 O x A y B B 1 1 P + - CICLO ou CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

4 Sistema de coordenas ortogonais; Circunferência de centro na origem do sistema, de raio unitário r = 1; Arcos de origem ponto A (1,0); Medidas algébricas positivas no sentido anti-horário, negativas sentido horário; Divisão dos quatros quadrantes sentido anti-horário

5 SENOSENO

6 marcado no eixo Y varia de –1 até 1 -1 sen 1 sinal do seno: marcado no eixo Y varia de –1 até 1 -1 sen 1 sinal do seno: O x A y B B 1 SENOSENO

7 COSSENOCOSSENO

8 marcado no eixo X varia de –1 até 1 -1 cos 1 sinal do cosseno: marcado no eixo X varia de –1 até 1 -1 cos 1 sinal do cosseno: O x A y B B -1 1 COSSENOCOSSENO

9 O x A y B B P M N sen cos SENO E COSSENO

10 Fatec- Se x é um arco do 3º quadrante e cos x = -4/5, então sen x é igual a: a)3/5 b)-3/5 c)-9/25 d)-16/9

11 O x A y B B P t t // y M tg TANGENTETANGENTE

12 O x A y B B marcada numa reta paralela ao eixo y varia de – até - tg sinal da tangente: marcada numa reta paralela ao eixo y varia de – até - tg sinal da tangente:TANGENTETANGENTE

13 x y A t cos sen tg SENO, COSSENO E TANGENTE

14 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° ARCOS NOTÁVEIS

15 Ângulos complementares sen x= cos(90-x) SENO, COSSENO E TANGENTE DE ARCOS NOTÁVEIS DO 1º. QUADRANTE

16 UFJF- O valor de sen² 10 + sen² sen²70+sen²80+ sen² 90 é: a)-1 b)1 c)2 d)4 e)5

17 1/2 30 o 150 o 210 o 330 o SIMETRIA DE ARCOS

18 45 o 135 o 225 o 315 o SIMETRIA DE ARCOS

19 60 o 120 o 240 o 300 o 1/2 SIMETRIA DE ARCOS

20 A 180 o o o - GENERALIZANDO:GENERALIZANDO: De um modo geral:

21 UFJF- Dois ângulos distintos, menores que 360°, têm, para seno, o mesmo valor positivo. A soma desses ângulos é igual a: a) 45° b) 90° c) 180° d) 270° e) 360°

22 1º. Caso: ângulo do 2º. quadrante cos ( - x) = - cos x tg ( - x) = - tg x a = ( - x) O x y /2 0 x a 3 /2 2 sen ( - x) = sen x REDUÇÃO AO 1º. QUADRANTE

23 sen ( + x) = - sen x a = ( + x) O x y /2 0 x a 3 /2 2 cos ( + x) = - cos x tg ( + x) = tg x 2º. Caso: ângulo do 3º. quadrante REDUÇÃO AO 1º. QUADRANTE

24 sen (2 - x) = - sen x a = (2 - x) O x y /2 0 x a 3 /2 2 cos (2 - x) = cos x tg (2 - x) = - tg x 3º. Caso: ângulo do 4º. quadrante REDUÇÃO AO 1º. QUADRANTE

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27 I. sen 2 x + cos 2 x = 1 III. cotg x = xsen xcos x tg 1 II. tg x = xcos xsen RELAÇÕES FUNDAMENTAIS IV. sec x = xcos 1 IV. sec x = xcos 1

28 a) cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b b) cos (a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b c) sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a d) sen (a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a SOMA E DIFERENÇA DE ARCOS

29 e) b a.tg tg1 b a - + b)tg(a=+ f) b)-tg(a b a.tg tg1 b -a + = SOMA E DIFERENÇA DE ARCOS

30 a) cos(2a) = cos 2 a – sen 2 a b) sen(2a) = 2.sen a.cos a c) tg(2a) = xtg 2 1 x 2.tg 2 - ARCOS DUPLOS

31 1-) FUVEST- Calcule o valor de (tg10° + cotg10°)sen20° a)1 b)2 c)3 d)4

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33 UFJF- Sendo x+y=60º, o valor de (cosx+ cosy)² + (senx + seny)²-2 é: a)-2 b)-1/2 c)0 d)1 e)2

34 CESGRANRIO- Se senx – cosx = ½ o valor de senx cosx é igual a: a)-3/16 b)-3/8 c)3/8 d)¾ e)3/2

35 2 cosx1 2 x cos a) + ±= 2 cosx-1 2 x sen b) ±= cosx x tg c) + ±= ARCOS METADE

36 2 qp.cos 2 qp 2sensenqsenp a) -+ =+ 2 qp.cos 2 q-p 2sensenq-senp b) + = 2 qp.cos 2 qp 2coscosqcosp c) -+ =+ 2 qp.sen 2 qp 2sencosqcosp d) -+ -=- TRANSFORMAÇÃO DE SOMA EM PRODUTO

37 Estudo da função seno 36 f(x) = sen x xsen x 0 /6 /4 /3 /2 2 /3 3 /4 5 /6 7 /6 5 /4 4 /3 3 /2 5 /3 7 /4 11 /6 2

38 37 Estudo da função seno Observações: 1ª) O domínio de f(x) = sen x é, pois para qualquer valor real de x existe um e apenas um valor para sen x. 2ª) O conjunto imagem de f(x) = sen x é o intervalo [ 1,1]. 3ª) A função seno não é sobrejetora, pois [ 1,1], isto é, sua imagem não é igual ao contradomínio. 4ª) A função seno não é injetiva, pois para valores diferentes de x temos o mesmo f(x). Por exemplo, 5ª) A função seno é função ímpar, isto é, qualquer que seja x D(f) = temos sen x = sen ( x). Por exemplo,

39 38 Estudo da função seno Periodicidade: O período da função seno é de 2 e indicamos assim: p = 2

40 39 Estudo da função seno Sinal: A função é positiva para valores do 1º e 2º quadrantes e negativa para valores do 3º e 4º quadrantes.

41 40 Estudo da função cosseno f(x) = cos x xcos x 0 /6 /4 /3 /2 2 /3 3 /4 5 /6 7 /6 5 /4 4 /3 3 /2 5 /3 7 /4 11 /6 2

42 41 Estudo da função cosseno Observações: 1ª) A cossenoide não é uma nova curva, e sim uma senoide transladada /2 unidades para a direita. A maioria dos aspectos relevantes da função cosseno são os mesmos da função seno. 2ª) O domínio é o mesmo: D = 3ª) A imagem é a mesma: Im = [ 1,1]. 4ª) O período é o mesmo: p = 2. 5ª) A função cosseno não é nem injetiva. 6ª) A função cosseno é par, pois temos cos x = cos ( x).

43 42 Estudo da função cosseno Sinal: A função é positiva para valores do 1º e 4º quadrantes e negativa para valores do 2º e 3º quadrantes.

44 xcos x 0 /6 /4 /3 /2 2 /3 3 /4 5 /6 7 /6 5 /4 4 /3 3 /2 5 /3 7 /4 11 / Estudo da função tangente f(x) = tg x

45 44 Observações: Estudo da função tangente 1ª) Domínio: 2ª) Imagem: Im =. 3ª) A função tangente não é injetiva, mas é sobrejetiva. 4ª) A função tangente é função ímpar, isto é, tg x = tg ( x). 5ª) Período: p =.

46 45 Estudo da função tangente Sinal: A função é positiva para valores do 1º e 3º quadrantes e negativa para valores do 2º e 4º quadrantes.

47 46 Funções trigonométricas xsen xy = 2 + sen x

48 47 Funções trigonométricas x2xy = cos 2x

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50 FUVEST- A figura a seguir mostra parte do gráfico da função: a)Senx b)2senx/2 c)2senx d)2sen2x e)sen2x

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52 Lei dos senos A B C a c b

53 Lei dos Cossenos A B C a c b

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