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GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Sólidos III © antónio de campos, 2010.

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Sólidos III © antónio de campos, 2010

2 Projecção de uma Pirâmide com Base Contida em Plano Oblíquo São dados dois pontos, A (4; 0) e B (0; 3), contidos num plano oblíquo α. O traço horizontal do plano α faz um ângulo de 60º (a.e.) com o eixo x, enquanto o traço frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x. Os pontos A e B são dois vértices consecutivos de um quadrado [ABCD] e a base de uma pirâmide quadrangular regular, com 7 cm de altura e situada no 1.º diedro. Desenha as projecções da pirâmide. Desenho à escala de 1:2. x hαhα fαfα A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 Determinar as projecções do quadrado, recorrendo do rebatimento do plano α para o Plano Horizontal de Projecção, com h α como charneira, para obter a V.G.; e depois inverter o rebatimento, através de rectas frontais. Localizar o ponto O. e 1 h αr BrBr f αr A r CrCr DrDr frfr f1f1 H2H2 H r H 1 f2f2 C2C2 C1C1 frfr H2H2 f1f1 f2f2 D2D2 D1D1 O2O2 O1O1 Construir a pirâmide, com uma recta ortogonal p ao plano α, que será o eixo da pirâmide. O ponto V é o vértice da pirâmide. Para obter a V.G. do segmento de recta [OV], rebater um plano projectante (plano de topo δ) que contém a recta p, com h δ como charneira, rebatendo a própria recta p. p1p1 e 2 p2p2 f δ hδhδ e 1 h δr f δr (e 2 ) OrOr H 2 H r H 1 prpr VrVr Invertendo o rebatimento do plano δ, obtêm-se as projecções de V sobre as projecções homónimas da recta p, permitindo a construção da pirâmide. Na determinação da visibilidade, os vértices com menor afastamento estão menos visíveis em projecção frontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem; os vértices com menor cota estão menos visíveis em projecção horizontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem. V2V2 V1V1

3 H2H2 H r H 1 H2H2 São dados dois pontos, A (-1; 0; 3) e B (1; 3; 0), contidos num plano oblíquo δ, são vértices de um triângulo equilátero [ABC], situado no 1.º diedro, é a base de uma pirâmide triangular regular, situada também no 1.º diedro. O triângulo [ABC] tem 8 cm de altura. O plano δ intersecta o eixo x num ponto K, com –3 cm de abcissa. Desenha as projecções da pirâmide. x y z A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 K 1 K 2 hδhδ fδfδ Determinar as projecções do triângulo, recorrendo do rebatimento do plano δ para o Plano Horizontal de Projecção, com h α como charneira, para obter a V.G.; e depois inverter o rebatimento, através de rectas frontais. Localizar o ponto O. e 1 h δr e 2 ArAr fδrfδr B r CrCr frfr f1f1 f2f2 C2C2 C1C1 OrOr frfr f1f1 f2f2 O2O2 O1O1 Construir a pirâmide, com uma recta ortogonal p ao plano δ, que será o eixo da pirâmide. O ponto V é o vértice da pirâmide. Para obter a V.G. do segmento de recta [OV], rebater um plano projectante (plano vertical θ) que contém a recta p, com f θ como charneira, rebatendo a própria recta p. p2p2 p1p1 h θ fθfθ e 2 f θr (e 1 ) h θr F r F 1 F 1 O r1 prpr VrVr Invertendo o rebatimento do plano δ, obtêm- se as projecções de V sobre as projecções homónimas da recta p, permitindo a construção da pirâmide. Na determinação da visibilidade, os vértices com menor afastamento estão menos visíveis em projecção frontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem; os vértices com menor cota estão menos visíveis em projecção horizontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem. V1V1 V2V2

4 F1F1 Fr F2F2 H2H2 Hr H 1 F r1 F2F2 F1F1 Projecção de uma Pirâmide com Base Contida em Plano de Rampa São dados dois pontos, A (1; 3) e C (5; 0), contidos num plano de rampa ρ, sendo A 0 C 0 = 3 cm (situando-se A à esquerda de C). Os pontos A e C são dois vértices opostos de um quadrado [ABCD] e a base de uma pirâmide quadrangular regular, com 8 cm de altura. Desenha as projecções da pirâmide. x A2A2 A1A1 C2C2 C1C1 r1r1 r2r2 hρhρ fρfρ Determinar as projecções do quadrado, recorrendo do rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção, com h ρ como charneira, para obter a V.G.; e depois inverter o rebatimento, através da recta s. e 1 h ρr e 2 FrFr fρrfρr C r r ArAr OrOr BrBr DrDr srsr s1s1 s2s2 D2D2 D1D1 B2B2 B1B1 O2O2 O1O1 Construir a pirâmide, com uma recta ortogonal p ao plano ρ, que será o eixo da pirâmide. O ponto V é o vértice da pirâmide. Para obter a V.G. do segmento de recta [OV], rebater um plano projectante (plano de perfil π) que contém a recta p, com f π como charneira, rebatendo a própria recta p. p 1 p 2 f π h π H1H1 H2H2 F 1 F2F2 i 1 i 2 (e 1 ) e 2 h πr f πr F r HrHr irir O r1 prpr VrVr V1V1 V2V2 Invertendo o rebatimento, obtêm-se as projecções de V sobre as projecções homónimas da recta p, permitindo a construção da pirâmide. Na determinação da visibilidade, os vértices com menor afastamento estão menos visíveis em projecção frontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem; os vértices com menor cota estão menos visíveis em projecção horizontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem.

5 São dados dois pontos, A (-1; 5; 0) e B (-2; 0; 3), vértices de um triângulo equilátero [ABC], que é a base de uma pirâmide triangular regular, com 8 cm de altura, situada no 1.º diedro e contida num plano de rampa ρ. O vértice C do triângulo está à esquerda do vértice A. Desenha as projecções da pirâmide. x y z A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 hρhρ fρfρ Determinar as projecções do triângulo, recorrendo do rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção, com h ρ como charneira, utilizando o ponto B, para obter a V.G.; e depois inverter o rebatimento, através da recta s. e 1 h ρr e 2 B r1 BrBr fρrfρr A r CrCr OrOrr H2H2 Hr H 1 F r F 1 F 2 r1r1 r2r2 O2O2 O1O1 srsr H2H2 Hr H 1 F1F1 Fr F2F2 s1s1 s2s2 C2C2 C1C1 Construir a pirâmide, com uma recta ortogonal p ao plano ρ, que será o eixo da pirâmide. O ponto V é o vértice da pirâmide. Para obter a V.G. do segmento de recta [OV], rebater um plano projectante (plano de perfil π) que contém a recta p, com f π como charneira, rebatendo a própria recta p. p 1 p 2 f π h π H2H2 H1H1 F 1 F2F2 i 1 i 2 (e 1 ) e 2 h πr f πr HrHr irir O r1 prpr VrVr Invertendo o rebatimento, obtêm-se as projecções de V sobre as projecções homónimas da recta p, permitindo a construção da pirâmide. Na determinação da visibilidade, os vértices com menor afastamento estão menos visíveis em projecção frontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem; os vértices com menor cota estão menos visíveis em projecção horizontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem. V1V1 V2V2 F r

6 Projecção de um Cubo com Base Contida em Plano Passante É dado um plano passante ρ, definido pelo eixo x e por um ponto A (3; 2). Um cubo com 5 cm de aresta, situado no 1.º diedro, tem o quadrado [ABCD], uma das faces do sólido, contido no plano ρ. O lado [AB] do quadrado faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. Desenha as projecções do cubo. x A2A2 A1A1 f ρ h ρ Determinar as projecções do quadrado, recorrendo do rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção, com h ρ como charneira, para obter a V.G., via triângulo de rebatimento para o ponto A. e 1 e 2 f ρr h ρr A r1 ArAr BrBr CrCr DrDrr srsr r1r1 r2r2 s1s1 s2s2 B2B2 B1B1 C2C2 C1C1 D2D2 D1D1 Construir o cubo, com uma recta ortogonal a ao plano ρ, passando pelo ponto A. Para obter a V.G. do segmento de recta [AA], rebater um plano projectante (plano de perfil π) que contém a recta a, com f π como charneira, para o Plano Frontal de Projecção, rebatendo a própria recta a. a 1 a 2 f π h π H 1 H 2 F 1 F 2 i 1 i 2 (e 1 ) e 2 f πr h πr A r2 F r irir arar ArAr A2A2 A1A1 Invertendo o rebatimento, obtêm-se as projecções de A, B, C e D, permitindo a construção do cubo. Na determinação da visibilidade, os vértices com menor afastamento estão menos visíveis em projecção frontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem; os vértices com menor cota estão menos visíveis em projecção horizontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem. B2B2 C2C2 D2D2 B1B1 C1C1 D1D1

7 É dado um plano passante ρ que contém o quadrado [ABCD], uma das faces de um cubo, situado no 1.º diedro, com 5 cm de aresta. O ponto A (4; 1) fica à esquerda de B e tem um afastamento inferior a B. O lado [AB] do quadrado faz um ângulo de 30º com o eixo x. Desenha as projecções do cubo. x f ρ h ρ A2A2 A1A1 Determinar as projecções do quadrado, recorrendo do rebatimento do plano ρ para o Plano Frontal de Projecção, com f ρ como charneira, para obter a V.G., via triângulo de rebatimento para o ponto A. e 1 e 2 f ρr h ρr A r1 ArAr BrBr CrCr DrDrr srsr r1r1 r2r2 s1s1 s2s2 B2B2 B1B1 C2C2 C1C1 D2D2 D1D1 Construir o cubo, com uma recta ortogonal a ao plano ρ, passando pelo ponto A. Para obter a V.G. do segmento de recta [AA], rebater um plano projectante (plano de perfil π) que contém a recta p, com f π como charneira, para o Plano Frontal de Projecção, rebatendo a própria recta p. p 1 p 2 f π h π H 1 H 2 F 1 F 2 i 1 i 2 (e 1 ) e 2 f πr h πr F r irir prpr ArAr Invertendo o rebatimento, obtêm-se as projecções de A, B, C e D, permitindo a construção do cubo. Na determinação da visibilidade, os vértices com menor afastamento estão menos visíveis em projecção frontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem; os vértices com menor cota estão menos visíveis em projecção horizontal, juntamente com todas as arestas que nele convergem. A2A2 A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 B2B2 C2C2 D2D2


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