Aproximação de funções

Apresentação em tema: "Aproximação de funções"— Transcrição da apresentação:

1 Aproximação de funções
Interpolação-AN- MIEC Aproximação de funções Interpolação Polinomial. Teorema de existência e unicidade. Como se determina o polinómio interpolador: desvantagens da resolução de sistemas. Método de Lagrange: vantagens e desvantagens. Método de Newton

2 Interpolação-AN- MIEC
Dada uma tabela {(xi, yi), i=0, , n}: yi = f(xi) e xi  xj se i  j, F(xi) = f(xi) i = 0, , n. f(x) F(x*) F(x) erro f(x*) ... x0 x1 x* x2 xn-1 xn f(x*) ≈F(x*) Análise Numérica - Interpolação Polinomial

3 Interpolação Polinomial
Interpolação-AN- MIEC Interpolação Polinomial Se x*x0, xn - interpolação Se x*x0, xn - extrapolação Teorema ( de existência e unicidade) {(xi, yi), i=0, , n}: xi  xj  i  j. 1 Pn(x) : Pn(xi) = yi , i=0, , n. Análise Numérica - Interpolação Polinomial

4 Técnicas para obter Pn(x)
Interpolação-AN- MIEC Técnicas para obter Pn(x) Determinar o polinómio do 1º grau que passa por (1,1) e (2,3) Resolução de um sistema é uma recta Análise Numérica - Interpolação Polinomial

5 Interpolação-AN- MIEC
Resolução de sistemas Pouco eficiente ... Pn(xi) = yi , i=0,, n Determina ai com cerca de n3 produtos e divisões Determinante ≠0 se xi≠ xj produtos n produtos Análise Numérica - Interpolação Polinomial

6 Resolução de sistemas ... alguns mal condicionados
Interpolação-AN- MIEC Resolução de sistemas ... alguns mal condicionados Exemplo: Determine o polinómio de 2º grau que passa pelos pontos de abcissa x0 =100, x1=101 e x2=102. Condição da matriz 108 Base = {1,x,x2} Análise Numérica - Interpolação Polinomial

7 Resolução de sistemas como melhorar a condição
Interpolação-AN- MIEC Resolução de sistemas como melhorar a condição Base = {1,(x-x2) ,(x-x2)2} Condição da matriz 28 Base Método Análise Numérica - Interpolação Polinomial

8 Propriedades dos polinómios
Interpolação-AN- MIEC Propriedades dos polinómios A soma de dois polinómios de grau n é um polinómio de grau  n. O produto de um polinómio de grau m por um polinómio de grau n é um polinómio de grau m + n. O produto de n polinómios de grau 1 é um polinómio de grau n, isto é, Este polinómio tem precisamente n raízes reais 1, 2,, n. Análise Numérica - Interpolação Polinomial

9 Propriedades dos polinómios
Interpolação-AN- MIEC Propriedades dos polinómios Se  é raiz de Pn(x) então Pn(x) é divisível por (x-) e é um polinómio de grau n-1. Um polinómio de grau n tem no máximo n raízes reais. Um polinómio que se anula em n pontos tem pelo menos grau n. Análise Numérica - Interpolação Polinomial

10 Interpolação-AN- MIEC
Método de Lagrange =ℓk (x) Base={ℓ0(x),..., ℓn(x)} coordenadas= [y0, y1..., yn ] Análise Numérica - Interpolação Polinomial

11 Interpolação-AN- MIEC
Método de Lagrange é um polinómio de grau n é um polinómio de grau n Análise Numérica - Interpolação Polinomial

12 Interpolação-AN- MIEC
Método de Lagrange Lk(xk) = yk e Lk(xi) = 0 se i  k x0 x1 x2 x3 x4 x5 y0 y3 L3(x) L0(x) Análise Numérica - Interpolação Polinomial

13 Interpolação-AN- MIEC
Exercício 1. a) Determine f(0.4) por interpolação parabólica b) Comente os resultados sabendo que: f(0.4) … Método de Lagrange: ? 3 c.d.c de f(0.4) Análise Numérica - Interpolação Polinomial

14 Interpolação-AN- MIEC
Método de Newton (para a frente) Pn(x) = Pn-1(x) + P? Polinómio de grau n anula-se em xi i=0,1,...,n-1 P?=an (x - x0)(x – xn-1) ? P ? P5 (x) P5-1(x) Análise Numérica - Interpolação Polinomial

15 Interpolação-AN- MIEC
Como determinar an ? Pn(x) = Pn-1(x) + an (x - x0)(x – xn-1) Pn(xn)=yn Polinómio de grau 0 que passa por (x0, y0) P0(x) = a0 Polinómio de grau 1 que passa por (x0, y0), (x1, y1) P1(x) = P0(x) + a1(x - x0) = y0 + a1(x - x0) P1(x1) = y0 + a1(x1 - x0) = y1 Polinómio de grau 2 que passa por (x0, y0), (x1, y1) (x2, y2) P0(x0) = a0 = y0 P0(x) = y0 variação variação da variação Análise Numérica - Interpolação Polinomial

16 Diferença dividida de f
Interpolação-AN- MIEC Diferença dividida de f De 1ª ordem De 2ª ordem De ordem k Análise Numérica - Interpolação Polinomial

17 Tabela das diferenças divididas
Interpolação-AN- MIEC Tabela das diferenças divididas … xi yi x0 y0 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 ⋮ f[xi , xi+1] f[xi , xi+1 , xi+2] f[xi , xi+1 , xi+2 , xi+2] [x0 , x1] [x0 , x1 , x2] [x1 , x2] [x0 , x1 , x2 , x3] [x1 , x2 , x3] … [x2 , x3] [x1 , x2 , x3 , x4] [x2 , x3 , x4] [x3 , x4] Análise Numérica - Interpolação Polinomial

18 Tabela das diferenças divididas Folha InP1 -1.1
x (T) y (C. Ter.) 1ªordem 2ºordem 3ªordem 4ªordem 5ªordem 100 9.04 010-5 10-8 1.4 510-10 -5.2 510-13 10-15 200 7.69 010-5 -2.4 010-8 -6.5 010-11 10-13 300  10-5 10-8 9.6 6710-11 400 6.34 010-5 10-8 500 6.05 010-5 600 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) exacto aproximado Análise Numérica - Interpolação Polinomial

19 Interpolação-AN- MIEC
Lema A diferença dividida de ordem n+1 de um polinómio de grau n é identicamente nula Análise Numérica - Interpolação Polinomial

20 Interpolação-AN- MIEC
Polinómio de Newton Polinómio de grau 2 que passa por (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) Polinómio de grau n que passa por (x0, y0), …, (xn, yn) Análise Numérica - Interpolação Polinomial

21 Interpolação-AN- MIEC
xi yi f[xi , xi+1] f[xi , xi+1 , xi+2] f[xi , xi+1 , xi+2 , xi+3] … x0 y0 [x0 , x1] x1 y1 [x0 , x1 , x2] [x1 , x2] [x0 , x1 , x2 , x3] x2 y2 [x1 , x2 , x3] [x2 , x3] [x1 , x2 , x3 , x4] x3 y3 [x2 , x3 , x4] [x3 , x4] x4 y4 ⋮ Análise Numérica - Interpolação Polinomial

22 Interpolação-AN- MIEC
Qual o erro? Se ? Análise Numérica - Interpolação Polinomial

23 Polinómio de newton InP1 - 1.2
3 pontos + próximos P2(240)= (0)10-5( ) -6.75(0)10-8( )( ) = (56) (0) = (7)  0.510-4 4 c.d. Mesmo que f seja “suave” a 4ª c.d. pode não ser correcta Análise Numérica - Interpolação Polinomial

24 Significado da diferença dividida
Interpolação-AN- MIEC Significado da diferença dividida Fórmula de Newton Fórmula de Taylor Análise Numérica - Interpolação Polinomial

25 Significado da diferença dividida
Interpolação-AN- MIEC Significado da diferença dividida Polinómio de Taylor Polinómio de Newton Erro do Polinómio de Newton Análise Numérica - Interpolação Polinomial

26 Interpolação-AN- MIEC
Estimativa do erro Limite superior do erro Valor aproximado (se f for “suave”) Análise Numérica - Interpolação Polinomial

27 Como se pode diminuir o erro?
Interpolação-AN- MIEC Como se pode diminuir o erro? Aumentando o n (grau do polinómio interpolador) Escolhendo os pontos da tabela mais próximos de Análise Numérica - Interpolação Polinomial

28 Tabela das diferenças divididas Folha InP1 -1.3
( exacto) y (C. Ter.) x (T) 1ªordem 2ºordem 3ªordem 300 400 500 600 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P2(0.0387)= (73…)105( ) +6.(102…)104( )( )  (0)-0.3(18)484.3(8) R2(0.0387) 4.(1)106|( )( )( )|  0.15  0.5×100 f-1(0.0387)  484.(4) Análise Numérica - Interpolação Polinomial