 Aprendendo Geometria Analítica de Forma Dinâmica com o Geogebra  Joseide Justin  Gabriel Pinheiro

 Geometria Analítica Segundo Eves (2007) as ideias concebidas por Descartes e Fermat acerca da Geometria Analítica moderna constituem um método da Geometria, e poucas experiências escolares podem ser mais emocionantes para um aluno do curso colegial avançado ou início de faculdade do que uma introdução a esse novo e poderoso método de enfrentar problemas geométricos. INTRODUÇÃO

 Utilização da Geometria Analítica Segundo Eves (2007), a ideia de coordenadas foi usada no mundo antigo pelos egípcios e os romanos na agrimensura e pelos gregos na confecção de mapas. Hoje o ensino da Geometria Analítica, objeto de estudo no Ensino Médio e Superior, justifica-se por apresentar uma riqueza conceitual relevante para o desenvolvimento cognitivo do pensamento matemático, e está presente em muitas áreas da Ciência como:

 na medicina em exames por imagem computadorizadas; na engenharia desde a fabricação de peças de aço até a construção de cenários virtuais; na astronomia, no GPS, nos radares dos aeroportos e dos aviões;

 na física em movimentos de corpos em função do tempo.

 Os Registros de Representação Semiótica:. produções constituídas pelo emprego de signos pertencentes a uma sistema de representação, os quais têm suas dificuldades próprias de significado e funcionamento.

 Como compreender as dificuldades muitas vezes insuperáveis que muitos alunos têm na compreensão em matemática? Qual a natureza dessas dificuldades?Onde elas se encontram?

. Para responder essas questões não podemos nos restringir ao campo matemático ou à sua história. É necessária uma abordagem cognitiva, pois o objetivo do ensino da matemática, em formação inicial, não é nem formar futuros matemáticos, nem dar aos alunos instrumentos que só lhes serão eventualmente úteis muito mais tarde, e sim contribuir para o desenvolvimento geral de suas capacidades de raciocínio, de análise e visualização.

 A importância primordial das representações semióticas- considera que o desenvolvimento das representações semióticas foi condição essencial para a evolução do pensamento matemático. Os objetos matemáticos, começando pelos números, não são diretamente perceptíveis ou observáveis com a ajuda de instrumentos. O acesso aos números está ligado à utilização de um sistema de representação que os permite designar.

 Registros de Representação Se miótica Há uma pluralidade de registros de representação de um mesmo objeto e a articulação desses diferentes registros é condição para a compreensão em matemática. A compreensão em Matemática supõe a coordenação de ao menos dois tipos de registros de representações semióticas.

 Existem quatro tipos muito diferentes de registros: REGISTROS MULTIFUNCIONAIS REGISTROS MONOFUNCIONAIS Representação Discursiva Língua Natural Associações verbais (conceituais) Sistemas de escritas: - numéricas; - algébricas; - simbólicas; Representação não- discursiva Figuras geométricas planas ou em perspectiva. Gráficos cartesianos. - mudanças de sistema de coordenadas; - Interpolação, extrapolação.

 Os dois tipos de transformação de representações semióticas

 Exemplos de Questões com a Língua Natural O que podemos afirmar com relação ao coeficiente angular de uma reta? Uma reta que passa na origem e é perpendicular a outra reta que passa nos pontos de abscissas três e zero e ordenadas zero e dois respectivamente tem pontos na forma: (x,-2/3x) (2x, -x/3) (x, -3/2x) (2x, -3x) Tratamento Conversão

 Exemplos de Questões com a Representação Algébrica Encontre a forma reduzida da equação da reta x – y + 1 = 0. Represente graficamente a equação x + y + 1 = 0 Tratamento Conversão

 Exemplos de Questões com a Representação Gráfica Com base no seguinte gráfico da reta, construa um gráfico com mesmo coeficiente angular e coeficiente linear igual a “ -2” Encontre a equação representada no gráfico: Tratamento Conversão

 1 – Sendo “t” um número real, então podemos dizer que na medida que “t” varia, o ponto P(1,t) se move: a)Por uma reta paralela ao eixo das ordenadas. b)Pela reta bissetriz do primeiro quadrante. c)Por uma reta paralela ao eixo das abscissas. d)Não anda em linha reta.

 2 – Sendo “k” qualquer valor real, então podemos dizer que na medida em que “k” varia o ponto P(4k-1, 2k+3): a)Gira em torno da origem. b)Anda sobre uma reta com coeficiente angular igual a 0,5. c)Passa na origem do plano cartesiano. d)Faz movimento ondulatório.

 3 – sobre a equação da reta –kx-2y+4=0, onde k é um número real não negativo podemos afirmar que quando k varia em valores crescentes: a)A reta gira em torno do ponto de abscissa zero e ordenada quatro no sentido anti-horário. b)A reta se desloca verticalmente passando pelo ponto de abscissa zero e ordenada quatro. c)A reta gira em torno do ponto de abscissa zero e ordenada dois no sentido horário. d)A reta se desloca horizontalmente na direção positiva passando pelo ponto de abscissa zero e ordenada quatro.

 4- uma reta que passa pela origem e é perpendicular a outra reta que passa nos pontos de abscissa três e zero e ordenadas zero e dois respectivamente tem pontos na forma: a)(x, -2/3x) b)(2x,-x/3) c)(x,3/2x) d)(2x, -3x)

 5- A equação reduzida da circunferência que se desloca “t” unidades horizontalmente é: a)(x+t) 2 – (y-2) 2 = 16 b)X 2 + (y-t) 2 = 4 c)X 2 + y 2 = 16 d)(x+t)² + y² = 1

 6 – a equação reduzida da circunferência que se desloca “t” unidades verticalmente é: a)(x-t) 2 + y 2 = 3 b)X 2 + (y+t) 2 = 1 c)X 2 – (y+t) 2 = 2 d)(x+1)² - (y-t)² = 1

 7 – seja a equação da circunferência (x-a)² + (y-a-1)² = b², então podemos dizer que na medida que “a” varia: a)A circunferência anda sobre o eixo das ordenadas. b)A circunferência anda sobre uma reta de quarenta e cinco graus de inclinação com o eixo das abscissas. c)A circunferência anda sobre o eixo das abscissas. d)A circunferência anda sobre uma reta paralela ao eixo das abscissas.

 8 – Sobre a equação da circunferência (x+a)² + (y-b)² = c a)“b” pode assumir qualquer valor real. b)“c” pode assumir qualquer valor real. c)Os valores negativos de “c” são para a circunferência que estão acima do eixo das abscissas. d)Para valores positivos de “a” deixa a circunferência acima do eixo das abscissas.

 9 – Dados os pontos A=(x,y); B =(y,x) e a reta y=x, então podemos dizer que: a)Todos os pontos com esta forma são equidistantes a esta reta. b)Todos os pontos com esta forma estão sobre a reta. c)Os pontos estarão sempre separados pela reta. d)A reta irá sempre reuní-los em um determinado quadrante.

 10 – Os valores de “a” e “b” na equação (x+a)² + (y+b)² = 1 correspondem: a)A um ponto da circunferência. b)Ao par ordenado do ponto situado no centro da circunferência. c)Ao par ordenado do ponto situado no centro da circunferência com sinais trocados. d)A distância que a circunferência se encontra do eixo das abscissas e das ordenadas respectivamente.

 O problema consiste em construir o virabrequim no Geogebra e determinar o ponto C em função do ângulo α (O ponto C desliza no segmento vermelho. Logo o ponto se altera em função do ângulo α ). Problema nº 1 Virabrequim α

 Determinar o ângulo θ formado entre as diagonais de um trapézio de base maior medindo 9 u.m, base menor medindo 3 u.m e arestas laterais medindo 5 u.m. Problema nº 2 Diagonais do Trapézio

 Determinar a distância entre os pontos médios das arestas reversas de uma pirâmide quadrangular com aresta da base medindo 4 u.m e altura 6 u.m. Obs: Arestas reversas são arestas que não são paralelas nem concorrentes, ou seja, não há nenhum ponto em comum entre as retas. Problema nº 3 Pirâmide

 Problema nº 4 Quadrado, retas perpendiculares e ângulo O problema consiste em determinar o ângulo β sabendo que a reta vermelha é perpendicular à reta azul e o ponto E desliza na aresta lateral quadrado e o ângulo não se altera.

 Respostas

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