p  q  ~ q  ~ p Proposição diretaContrapositiva pq p  q VVV VFF FVV FFV ~p~q ~q  ~p FFV VFF FVV VVV Contrapositiva

EXEMPLOS - Injetora Seja uma função f real e x1, x2 dois valores quaisquer do seu domínio. (a) x1  x2  f(x1)  f(x2) (b) f(x1) = f(x2)  x1 = x2

p  q  ~ q  ~ p Proposição direta Contra-positiva Se Maria vier eu não a receberei Eu receberei Maria se ela não vier p: Maria vier q: eu não a receberei ~p: Maria não vier ~q: eu a receberei

5 a f f é injetora? 5a f 5a f(x1) = f(x2)  x1 = x2 x1  x2  f(x1)  f(x2)

Direta: Se f é derivável em a, então f é contínua em a Contrapositiva: Se f não é contínua em a, então f não é derivável em a Se f é contínua em a, então f é derivável em a: Falso é contínua em R, mas não é derivável em x = 0 é contínua em R, mas não é derivável em x = 2

Solução trivial V é LI  a única de solução de (1) é a trivial (1) tem outras soluções além da trivial  V é LD (1)

Definição de função: uma relação é função se todos os elementos do conjunto de partida estão ligados a apenas um elemento do conjunto de chegada. CONTRAPOSITIVA e “CONTRAEXEMPLO” Definição de função: uma relação é função se qualquer dos elementos do conjunto de partida liga- se a apenas um elemento do conjunto de chegada. 5 a 7 f BA 6

5 a 7 b c Dois exemplos típicos de relações que não são funções Contrapositiva: um elemento em A está ligado a dois em B ou f BA CONTRAPOSITIVA e “CONTRAEXEMPLO”

5 a 7 b c 5 a 7 b 6 Dois exemplos típicos de relações que não são funções Contrapositiva: um elemento em A está ligado a dois em B ou algum elemento em A não está ligado a algum de B  f não é função. ff BAAB CONTRAPOSITIVA e “CONTRAEXEMPLO”

U = conjunto dos polígonos simples e convexos Triângulo é uma dessas figuras com três lados O prof. apresenta como contraexemplo O quadrado não é triângulo porque tem 4 lados

CONTRAPOSITIVA e CONTRAEXEMPLO U = conjunto dos polígonos simples e convexos Triângulo é uma dessas figuras com três lados Enquanto que o contraexemplo seria Encontrar um polígono de 3 lados que não seja triângulo, ou encontrar um triângulo que não tenha 3 lados

CONTRAPOSITIVA e CONTRAEXEMPLO Todo número primo é ímpar : F Contra-exemplo: 2 é primo, mas não é ímpar é par p é primo  p é ímpar : F Contrapositiva: p é par  p não é primo : F

COMPLEMENTAR e CONTRAPOSITIVA T~T UU inj~inj

COMPLEMENTAR e CONTRAPOSITIVA U par U = Universo das funções com domínio simétrico f  em U é par  f(a)=f(-a) Contrapositiva: f(a)  f(-a)  f não é par f(a) =- f(-a)  f é ímpar f não é par  f é ímpar ímpar outras

COMPLEMENTAR e CONTRAPOSITIVA U U = Universo das funções contínuas Deriváveis Não Deriváveis