G R U P O S - III

CONJUGADO COMUTADOR EXERCÍCIOS: Seja G um grupo Conjugado de x por y, que se denota por [x]y,  é o elemento de G tal que [x]y = y-1xy. COMUTADOR Comutador de x e y, que se denota-se por [x, y], ao elemento de G, tal que [x, y] = xyx-1y-1. EXERCÍCIOS: Considere o grupo (G, *) onde * é definido por a + b + ab. Calcule: (a) o conjugado de 3 por 5. (b) O comutador de 3 e 5.

SUBGRUPOS Definição 1 - Seja H um subconjunto não vazio de um grupo (G,*). Diz-se que H é um subgrupo de G se (H, *) for também um grupo. Denota-se então H < G. EXEMPLOS: (1) Seja H = { vi = (xi, yi, zi), (xi, yi, zi)  R3},onde v1  v2 = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3, z1 + z2 + z3). H é um grupo, sendo (0, 0, 0) o elemento neutro e (-x, -y, -z) o inverso de(x, y, z). Se G = {vi = (0, yi, zi), yi, zi  R}, então (G,*) é um subgrupo de H. (2) (Q+, x) com a operação multiplicação é um subgrupo de (R+, x) (3) O conjunto das n-ésimas raízes da identidade um (1), n  N, é um subgrupo do grupo C* (números complexos não nulos). (4) O conjunto {1} é um subgrupo trivial de R* em relação à multiplicação. Definição 2 - Um  subgrupo H de G é dito impróprio ou trivial se H = {n} onde n é o elemento neutro de G. Todos os outros subgrupos são chamados próprios ou não triviais.

PROPRIEDADES Se (H, *) é um subgrupo de (G, *), o neutro de G coincide com o neutro de H. (2) (a * b)-1 = b-1* a-1 Demonstração: (a *b)–1 é o inverso de (a* b). (i) Inverso à direita (a*b)*(b-1*a-1) = a*(b*b-1)*a-1 (pela propriedade associativa do grupo). = a*n*a-1 (inverso) = a*a-1 (neutro) = n (inverso) Inverso à esquerda Do mesmo modo se prova que (b-1*a-1)* (a*b) = n (3) (a-1)-1 = a Demonstração: (a-1)-1*(a-1) = n (a-1) é o inverso de (a-1)-1. Mas, (a-1) é o inverso de a. Como o inverso é único, a = (a-1) -1.

CONDIÇÕES PARA EXISTÊNCIA DE SUBGRUPO GRUPO INFINITO 1º CASO (1) x, y  H, x*y  H   (2)  x  H, x-1  H. 2º CASO  x, y  H, x*y-1  H. GRUPO FINITO  x, y  H, x*y  H. Pode-se também verificar o fechamento, a existência do neutro e do inverso.

m  G, existe m’  G, tal que m’ = a*m. GRUPOS CÍCLICOS Definição 1 Um elemento a  G é dito gerador do grupo (G, *) se, m  G, existe m’  G, tal que m’ = a*m. Definição 2 Todo grupo (G, *) gerado por um único elemento de G é denominado grupo cíclico gerado por a. O grupo gerado pelo elemento a é indicado por . <a> Teorema 1 Se a  (G, *), então H = {am, m  Z} é o grupo cíclico de G, gerado por a. Ou seja,  <a> = {am | m  Z}. Exemplo 1 - (Z, +) é um grupo gerado por 1 pois, para cada m’  Z, m’ = m + 1, logo Z = {m + 1 | m  Z} = <1>. Também, (Z, +), é gerado por qualquer outro elemento de Z.

(a) Todo elemento de Z4 é gerador de Z4. : 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 0 + 2 = 2, 0 + 3 = 3 : 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 1 + 3 = 0. : 2 + 0 = 2, 2 + 1 = 3, 2 + 2 = 0, 2 + 3 = 1. : 3 + 0 = 3, 3 + 1 = 0, 3 + 2 = 1, 3 + 3 = 2. (b) (Z4, +) é um grupo cíclico pois pode ser existem x, tais que xm = a, onde a é qualquer elemento de Z4. Os geradores cíclicos de Z4 são 1 e 3. <1> = {10 = 0, 11 = 1, 12 = 1 + 1 = 2, 13 = 1 + 1 + 1 = 3 <3> = {30 = 0, 31 = 3, 32 = 3 + 3 = 2, 33 = 3 + 3 + 3 = 1 <1> = <3>