Espaço Vetorial Introdução Definição de Espaço Vetorial Subespaço Algebra Linear Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler Objetivo: Conceituar espaço vetorial; Realizar mudança de base; Conhecer e calcular transformações Lineares Introdução Definição de Espaço Vetorial Subespaço Combinação Linear Representação dos vetores no espaço Dependência Linear Base de um Espaço Vetorial Mudança de Base

Introdução Antes de definir espaço vetorial vamos reescrever os vetores no espaço em notação matricial. Dado um ponto P(x,y,z) no espaço associado a um vetor pode ser escrito da seguinte forma. x y z O P(x,y,z) V é um conjunto no espaço.

Desta forma: Vetor nulo no espaço R3 Vetor oposto em R3 Operações com vetores no espaço V=R3 Dados: e Soma:

Produto de um vetor com um escalar: x y z Exemplo: Produto de um vetor com um escalar: x y z Exemplo:

Propriedades:

Definição de Espaço Vetorial É um conjunto V≠ com duas operações VxV V e RxV V, tais que para quaisquer u,v,w Є V e a,b Є R e as propriedades i a viii sejam satisfeitas. Havendo números complexos, V será um espaço vetorial complexo. O vetor é um elemento do espaço vetorial. Desta forma um vetor poderá ser: Vetor n-dimensional Matriz de qualquer ordem Polinômio de qualquer grau Vejamos alguns exemplos: Exemplo1: Conjunto de Vetores no espaço. É espaço vetorial

Exemplo2: considerando n-uplos de nos reais Neste caso o vetor nulo é:

Exemplo3: V=M(m,n), o conjunto de matrizes mxn com soma e produto por escalar: Neste caso o vetor nulo é: Exemplo4: V=Pn o conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a n incluindo o zero. n=2

Subespaços Vetoriais São espaços vetoriais contidos no espaço vetorial maior: x y Exemplo: Seja V=R2, plano onde W é uma reta deste plano. A soma de quaisquer dois vetores de W resulta em outro vetor de W. O mesmo ocorre se multiplicarmos um número por um vetor de W. Nestas condições, W é “fechado” em relação à soma de vetores e o produto de um escalar pelos vetores de W.

Definição: Dado um espaço vetorial V, um supconjunto W, não vazio, será subespaço vetorial de V se: Quaisquer u,v Є W tivermos u+v Є W Para qualquer a Є R, u Є W tivermos au Є W. Obs: Não é necessário verificar as propriedades i a viii pois V V W; Qualquer subespaço W de V precisa conter o vetor nulo para garantir a condição (2) quando a=0; Todo o espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (subespaços triviais), o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial.

w Exemplo1: V=R3 e WTV, é um plano passando pela origem do sistema . Se W não passar pela origem ele não é um subespaço vetorial. Exemplo2: V=R5 e W é um conjunto de vetores do R5 cuja primeira coordenada seja nula: i) ii)

Exemplo3: V=M(m,n) é subconjunto das matrizes triangulares superiores. W⊂R⇨W é subespaço do V pois a matriz resultante da soma e do produto por um escalar é triangular superior.

Combinação Linear Definição: Seja V um espaço vetorial real (ou complexo) v1,v2,....,vn ∈ V e a1,a2,......,an X R (ou C) É um elemento de V chamado de combinação linear de v 1,v2,....,vn Fixando-se v 1,v2,....,vn em V, o conjunto W formado da combinação linear de todos os vetores de V, é subespaço vetorial. Notação: Subespaço gerado pela combinação linear de v 1,v2,....,vn Formalmente:

Exemplo4: Dados dois vetores: e determine os vetores: Solução: Exemplo5: Dados dois vetores: v1=(1,3), v2=(-5,4) escreva o vetor u=(-13,18) como uma combinação linear de v1 e v2: W=[v1,v2] Solução:

Dependência Linear Seja V um espaço vetoria e v1,v2,....,vn ∈ V . Dizemos que {v1,v2,....,vn } é LI (Linearmente independente se a1v1+a2v2+....+anvn =0 ⇨ a1=a2=....=an=0 Se ai≠0 ⇨ {v1,v2,....,vn } é LD (linearmente dependente)

Base de um Espaço Vetorial Definição: Um conjunto {v1,v2,.....,vn} de vetores de V é uma base de V se: i) {v1,v2,.....,vn} é LI ii) [v1,v2,.....,vn] = V Exemplo1: , é base de V, conhecida como base canônica de V=R3

Exemplo2: Vamos examinar os vetores: é uma base no espaço V

Exemplo3: Verificar se é base em R2 Portanto a e b não são necessariamente zero. é LD e portanto não pode forma uma base.

Mudança de Base Dadas duas bases: Ordenadas de um espaço vetorial V. Dado o vetor vXV, podemos escrevê-lo: Base A 1 Base B

Base A Base B Desta forma podemos escrever os vetores da base B (bi) como combinação linear dos vetores da base A (ai): 2

Substituindo-se (2) em (1)

Base A Base B Matriz de transformação da base B para base A

Portanto pode-se escrever simplificadamente Onde é a matriz de transformação da base B para base A. A partir desta matriz é possível obter-se a matriz de transformação de A para utilizando-se a álgebra matricial desta forma: Que é a matriz identidade E Portanto:

Determinando-se a matriz de transformação de B2 para B1: Exemplo 1: Sejam as bases: Bases de R2 Determinando-se a matriz de transformação de B2 para B1: Escreve-se os vetores de B2 momo combinação linear dos vetores de B1:

De (1): De (2):

Exemplo 2: Determinar v=[5,-8]B2 na base B1 Para passar da base B1 para base B2, basta fazer a inversão da matriz .

Outra maneira de se obter é considerar a transformação algébrica inversa:

Observando as bases graficamente no espaço R2: Exemplo 3: Só para verificar o exemplo anterior Determinar v=[4,-1]B1 na base B2 Observando as bases graficamente no espaço R2:

Exemplo 4: Consideremos em R2 a base B1={e1,e2} e a base B2={f1,f2} , obtida da base canônica B1 pela rotação do ângulo q. Dado o vetor vXR2 de coordenadas: Pode-se escrever f1 e f2 em função de e1 e e2 : Como é ortogonal então:

Considerando: E q=600 Determinar:

P E R G U N T A S ?