RACIOCÍNIO LÓGICO Aula 1 - Introdução a Teoria de Conjuntos

Conteúdo Programático desta aula Conjuntos e Elementos Representações Subconjuntos Pertinência e Inclusão Tipos de Conjunto Conjuntos Numéricos Conjunto das Partes D ASS

Conjuntos Elementos Teoria de Conjuntos Conceitos Primitivos (não-definidos): A idéia de conjunto é a mesma de coleção. Conjuntos Elementos

Elementos e Conjuntos Uma coleção de revistas é um conjunto.

Elementos e Conjuntos Uma coleção de revistas é um conjunto; cada revista é um elemento desse conjunto.

Elementos e Conjuntos Um time de futebol é um conjunto; Seleção Brasileira de 1982: em pé, da esquerda para a direita: Waldir Perez, Leandro, Oscar, Falcão, Luzinho e Júnior. Agachados: Nocaute Jack, Sócrates, Toninho Cerezzo, Serginho, Zic e Éder.

Elementos e Conjuntos Um time de futebol é um conjunto; cada jogador do time é um elemento desse conjunto. Seleção Brasileira de 1982: em pé, da esquerda para a direita: Waldir Perez, Leandro, Oscar, Falcão, Luzinho e Júnior. Agachados: Nocaute Jack, Sócrates, Toninho Cerezzo, Serginho, Zic e Éder.

Representação de um Conjunto 1. Tabular forma de tabela entre chaves { } e separados por vírgula.   A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4} É usual representarmos os conjuntos por letras maiúsculas A, B, C, D, ... .

Representação de um Conjunto 2. Diagramas de Venn Elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples. B A • a • 2 • 4 • e • 1 • i • 3 • o • u

Representação de um Conjunto 3. Propriedade Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade p, então o conjunto A pode ser descrito por: A = {x | x tem a propriedade p}. Lê-se: “A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a propriedade p”.

Representação através de uma propriedade A = {x | x é país da Europa} o conjunto A é formado por todos os países da Europa  

Representação através de uma propriedade (b) B = {x | x é número natural par} o conjunto B é formado por todos os números naturais pares

Relação de Pertinência A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4} u é elemento do conjunto A e não é elemento do conjunto B. u  A (lê-se “u pertence a A”) e u  B (lê-se “u não pertence a B”)

Relação de Pertinencia  De um modo geral, para relacionar elemento e conjunto, só se pode usar os símbolos:   (pertence) e  (não pertence)

Tipos de Conjuntos 1. Conjunto unitário Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento.   Exemplos: C = {5} (b) B = { x | x é estrela do sistema solar}

Tipos de Conjuntos 2. Conjunto vazio Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento algum. Representa-se o vazio por  ou { }. Exemplos: D = {x | x é número e x . 0 = 5} =  E = {x | x é computador sem memória} = { }

Tipos de Conjuntos 3. Conjunto finito Conjunto finito é aquele que conseguimos chegar ao “fim” da contagem de seus elementos. Exemplos: B = {1, 2, 3, 4} D = {x | x é brasileiro} H = {x | x é jogador da seleção brasileira de futebol}

Tipos de Conjuntos 4. Conjunto infinito Conjunto infinito é aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais chegaremos ao “fim” da contagem. Exemplos: N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} A = { x  N | x é par} = {0, 2, 4, 6, ...}

Conjuntos Iguais Dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. temos A = B. os conjuntos possuem os mesmos elementos, não importando a ordem em que os elementos foram escritos. Se A não é igual a B, escrevemos A  B (lê-se “A é diferente de B”). A é o conjunto das letras da palavra “arte”: A = {a, r, t, e} B é o conjunto das letras da palavra “reta”: B = {r, e, t, a},

Conjunto Universo Conjunto universo de um estudo é um conjunto ao qual pertencem todos os elementos desse estudo, ou seja, é o conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar.

Conjunto Universo Quais são os números menores que 5? A resposta irá depender do conjunto universo considerado.   Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais: conjunto solução S = {0, 1, 2, 3, 4}. Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais pares: conjunto solução S = {0, 2, 4}.

Subconjunto Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A pertence a B.   Notação: A  B (lê-se “A está contido em B”), ou ainda, por B  A (lê-se “B contém A”). A  B  x(x  A → x  B)

Subconjuntos Conjunto B, formado por todos os brasileiros. Com os elementos de B podemos formar o conjunto A, dos homens brasileiros, e o conjunto C, das mulheres brasileiras. Dizemos que os conjuntos A e C são subconjuntos de B.

Subconjuntos {2, 5, 3}  {2, 5, 3, 8, 9} {6, 9, 6, 5}  {9, 6} {2, 8}  {2, 8}  

Pertinência e Inclusão 1 – A relação de inclusão () é usada exclusivamente para relacionar um subconjunto B com um conjunto A que contém B: B  A.   2 – A relação de pertinência () é usada exclusivamente para relacionar um elemento x com um conjunto A que possui x como elemento: x  A.

Pertinência e Inclusão 1 – A relação de inclusão () é usada exclusivamente para relacionar um subconjunto B com um conjunto A que contém B: B  A.   2 – A relação de pertinência () é usada exclusivamente para relacionar um elemento x com um conjunto A que possui x como elemento: x  A.

Conjuntos e Subconjuntos A B

Conjuntos e Subconjuntos De um dado conjunto cujos elementos classificamos como sons, podemos criar ao menos dois subconjuntos: o conjunto dos sons agradáveis e o conjunto dos sons desagradáveis.

Conjuntos e Subconjuntos Brasil: conjunto de 26 estados e o distrito federal; Cada estado é um conjunto de municípios; cada município é um conjunto de distritos; e cada distrito é um conjunto de bairros. Município Estado Brasil Distritos Bairro

Na classificação zoológica, usam-se de 10 a 20 conjuntos representando níveis hierárquicos. No caso dos mamíferos a que pertence o homem, a classificação adota 16 conjuntos.

Química: o conjunto dos elementos é separado em subconjuntos, metais, semimetais, não metais e gases nobres.

Conjuntos Numéricos Podemos “explicar” o aparecimento dos conjuntos numéricos através da necessidade que a Matemática manifestava em apresentar resultados que os conjuntos numéricos existentes até então não forneciam. A partir dos conjuntos dos números naturais, operações como, por exemplo, a subtração 5 – 8 só puderam apresentar um resultado com o aparecimento do conjunto dos números inteiros. A divisão de número 8 por 3 só pode apresentar resultado dentro do conjunto dos números Com relação aos números racionais, eles podem ser encontrados de três maneiras: número inteiro ou número decimal exato ou número decimal periódico (dízimas periódicas). Os números que não podem ser colocados na forma de fração com numerador inteiro e denominador inteiro não-nulo são chamados de números irracionais.

Reta Real Os números reais podem ser associados biunivocamente com cada ponto de uma reta, estabelecendo o que nós chamaremos de reta real ou eixo real.

Intervalos Reais: Subconjuntos Podemos estabelecer subconjuntos de números reais de extrema importância e que serão chamados de intervalos reais ALVO

Exercício Identifique as afirmativas verdadeiras e as falsas (a) 3 (3,) (b) 3 [3, ) (c) 3 (4, ) (d) 3 (-,3) (e) 3 (-,3] (f ) 3 (-,2) (g) 3 (-,4) (h) 3 (-,)

Propriedades 1 – O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto:   A,  A Exemplos:   {1, 2, 3}    2 – Todo conjunto A está contido no próprio A, isto é, todo conjunto é subconjunto de si mesmo: A  A,  A

Não é Subconjunto Para indicar que um conjunto A não é subconjunto de B, escreve-se:   A  B ( lê-se “A não está contido em B”) ou B  A ( lê-se “B não contém A”) Exemplo: (a) {a, b, c}  {a, b, d}

Conjuntos cujos elementos são conjuntos Os elementos de um conjunto podem também ser conjuntos: P = {, {a}, {b}, {a, b}} Nesse caso,  é elemento de P e, portanto, escrevemos   P e não   P. {a}  P, {b}  P, {a, b}  P. Alguns subconjuntos de P: {}  P; {{a}}  P; {{a, b}}  P; {{a}, {b}}  P.

Conjunto das Partes de um Conjunto Conjunto A = {1, 2}. Escrevendo os subconjuntos de A: com nenhum elemento:  com um elemento: {1}, {2} com dois elementos: {1,2} Chama-se “conjunto das partes de um conjunto A”, P(A), ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A. P(A) = {, {1}, {2}, {1,2}}.

Conjunto das Partes de um Conjunto Conjunto B = {m, n, p}, escrevemos P(B): P(B) = {, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}}

Número de Elementos de P(A) A = {1, 2}. P(A) = {, {1}, {2}, {1,2}}. P(A) tem 4 (22) elementos, isto é, A tem 4 subconjuntos. B = {m, n, p}, P(B) = {, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}} P(B) tem três elementos e obtivemos 8 (23) subconjuntos. Se um conjunto A tem n elementos, o números de elementos de P(A) é 2n. ALVO

Verdadeiro ou Falso? (a) {3}{3,4} (l) 0N* (b) 0{0,1,2} (n) 2/3Q (c){5,6}{0,1,2,5,6} (o) 4/5Z (d) 0 (p)  (e) {a} (q) 2{x/xé par} (f) {1}{{1},} (r) 1,5Q (g) {{2,3},{5,4}} (s) {x/xé impar}{3,5} (h) 0 (t) {} (i) {{1},{2}} (u) {} (j) {0,2} (v) {0} (k) N*N

Exercícios Quais os enunciados verdadeiros? (a) 1{1} (b) {1}{1} (f ) {{1}}{1,{1}} RES