Circunferência e círculo

Circunferência Se O é um ponto do plano e r um número real positivo, chama-se circunferência de centro O e raio r o lugar geométrico dos pontos do plano que estão à distância r do ponto O. A B P r r r C r O r r E D

Elementos P r r A B O O Q Corda PQ Diâmetro AB D = 2r C = 2r  

Elementos B Arco AMB N M A Arco ANB

Arcos e ângulos A ≡ B A ≡ B arco completo arco nulo

Arcos e ângulos O B A Arco de meia volta (Semicircunferência)

Círculo O conjunto constituído por uma circunferência e pelos pontos interiores a ela é chamado círculo ou disco. O r

Arco e ângulo central B C  O  D  A E F

O grau como unidade de medida

O grau como unidade de medida

O grau como unidade de medida 1º = 360 1 220o 320o 230o 310o 240o 300o 250o 290o 260o 270o 280o

Exemplo Comprimento do arco (AB) = 1,5 R ⇓ m(AB) = 1,5 rad ⇓  A ⇓ O R  = m(AB) = 1,5 rad comprimento  = m(AB) = R  

Exemplos A circunferência da figura tem raio igual a 9 cm e o comprimento do arco AB assinalado é 10,8 cm. Calcular, em radianos, a medida de AB. comprimento A  = 9 cm R O 10,8 cm  10,8 cm  = = 1,2 rad 9 cm B

Exemplos O arco AB da figura tem medida de 30º e o raio da circunferência é de 4 cm. Calcular, em cm, o comprimento do arco AB. ângulo comprimento A 4 cm 360º 2 R O x 30º 30º B 2 . 4 . 30 2  x = = ≈ 2, 1 cm 360 3

Exemplos Numa circunferência, o comprimento de um arco é de 40 cm. Esse mesmo arco mede 5 rad. Calcular a medida do raio da circunferência. A comprimento  = R 40 cm R  O 40 cm R 5 = ⇒ R = 8 cm R B

Ângulos Definição e elementos

Definição Duas semi-retas de mesma origem e não-opostas, contidas em um mesmo plano, dividem-no em duas regiões chamadas de ângulos. O é o vértice do ângulo A As semi-retas AO e OB são os seus lados O  Ângulo AÔB =  B

Ângulos consecutivos, adjacentes e ângulos opostos pelo vértice.

Ângulos consecutivos Se dois ângulos possuem um lado comum, dizemos que eles são consecutivos. A AÔB e AÔC são consecutivos O B Também são consecutivos os ângulos: C AÔC e BÔC AÔB e BÔC

Ângulos adjacentes Se dois ângulos consecutivos não possuem, além do lado comum, outro ponto comum, dizemos que eles são adjacentes. A AÔB e BÔC são adjacentes O B Apenas o lado OB é comum aos dois ângulos C

Ângulos opostos pelo vértice Se os lados de um ângulo são semi-retas opostas aos lados de outro ângulo, dizemos que eles são opostos pelo vértice (opv). AÔC e BÔD são opostos pelo vértice A C AÔB e CÔD são opostos pelo vértice O B m(AÔC) = m(BÔD) D m(AÔB) = m(CÔD)

Ângulos reto, agudo e obtuso. Ângulos complementares e suplementares

O símbolo indica que o ângulo é reto. Um ângulo é reto quando sua medida for de 90º. O símbolo indica que o ângulo é reto. A O B O ângulo AÔB é reto. m(AÔB) = 90º

Ângulo agudo Todo ângulo não-nulo menor que o reto é chamado ângulo agudo. A O ângulo AÔB =  é agudo.  O B 0º <  < 90º

Ângulo obtuso Todo ângulo maior que o reto e menor que o raso é chamado ângulo obtuso. A O ângulo AÔB =  é obtuso.  O B 90º <  < 180º

Ângulos complementares Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas for igual a 90º. Os ângulos  e  são complementares.   +  = 90º  O

Ângulos suplementares Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas for igual a 180º. Os ângulos  e  são suplementares.  +  = 180º   O

Bissetriz de um ângulo Chama-se bissetriz de um ângulo a semi-reta contida no ângulo, de origem no seu vértice e que o divide em dois ângulos congruentes. A semi-reta Ox é a bissetriz do ângulo AÔB. A x   =  O  B