BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL
DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR a1v1+ a2v2+ a3v3 + .... + anvn = 0. Definição 1:- Seja B = {v1, v2, v3, ... vn} um conjunto de vetores. Os vetores de B são ditos linearmente dependentes se existirem os escalares a1, a2, a3 ... an, nem todos nulos, de modo que Se todos os ai forem nulos os vetores v1, v2, v3, ... vn são ditos linearmente independentes. Conseqüência da definição, podemos fazer v1 = (-a2/a1)v2+ (-a3 /a1)v3 + .... + (-an/a1)vn v1 = b1v2+ b2v3 + .... + bnvn. Se existirem b1, b2, ..., bn então os vetores v1, v2, v3, ..., vn são linearmente dependentes. Definição 2:- Um conjunto de vetores é linearmente dependente se um deles for uma combinação linear dos demais.
Exemplo 1: verificar se o conjunto (2, 1, 1), (-1, 0, 2), (1, 2, 1) é linearmente dependente ou independente. Aplicando a definição 2, verifiquemos se existem x e y, tais que (2, 1, 1) = x(-1, 0, 2) + y(1, 2, 1). Da igualdade tiramos: (1) -x + y = 2 (2) 0 + 2y = 1 e (3) 2x + y = 1. Resolvendo o sistema: De (2) y = 1/2. (4) De (4) e (1): x = y – 2 = (1/2) – 2 = -3/2 Estes valores devem verificar a equação (3). 2.(-3/2) + 1/2 = -3 + 1/2 = - 5/2 1. Portanto, não existem valores para x e y que satisfaçam às três igualdades. O conjunto é então: linearmente independente.
dependente ou independente. Exemplo 2:- Verificar se o conjunto (2, 1, 3), (3, 1, 2), (5, 2, 5) é linearmente dependente ou independente. Pela definição: x.(2, 1, 3) + y.(3, 1, 2) = (5, 2, 5) Temos então: 2x + 3y = 5 , (2) x + y = 2 e (3) 3x + 2y = 5. De (1) e (2): 2x + 3(2 – x) = 5 2x + 6 – 3x = 5 -x = -1 x = 1. Levando esse valor em (2) 1 + y = 2 y = 1 Verificando a equação (3): 3.1 + 2.1 = 5. O que confere a equação (3). Assim, o sistema tem solução única x = 1 e y = 1. Portanto, cada vetor é uma combinação linear dos outros dois. Concluindo, os vetores são: linearmente dependentes.