Transformação Linear Definição: Sejam dois espaços vetoriais reais. Uma função T (ou aplicação) é denominada Transformação Linear de se: a) b) Obs: Se então a transformação linear é chamada de Operador Linear.

Exemplos 1) Transformação Linear Nula 2) Operador Linear Identidade 3) tal que 4) dada por 5) definida por

Contra - Exemplo definida por pois temos que:

Propriedades Sejam dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles. Então: P1) P2) P3)

Propriedades P4) Se é um subespaço de , então a imagem de pela transformação linear é um subespaço vetorial de , isto é, é subespaço vetorial real. P5)

Propriedades P6) Sejam e espaços vetoriais reais e uma base de . Dados vetores arbitrários de , existe uma transformação linear tal que: e

Núcleo e Imagem Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles, denomina-se Núcleo da Transformação o subconjunto do domínio da função dado por:

Núcleo e Imagem Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles, denomina-se Imagem da Transformação o subconjunto do contra-domínio da função dado por:

Exercícios Exercício 01: Verificar se as funções abaixo são transformações lineares e determinar seus núcleos e imagens: a) b) c)

Núcleo e Imagem Proposição: Dada uma transformação linear, temos que: O núcleo da transformação é um subespaço vetorial do domínio da função. A imagem da transformação é um subespaço vetorial do contra-domínio da função.

Recordando Definição: Uma função do conjunto A no conjunto B é dita: Injetora se: Sobrejetora se:

Recordando Definição: Uma função do conjunto A no conjunto B é dita bijetora se é injetora e sobrejetora simultâneamente.

Teoremas Proposição: Uma transformação linear é injetora se e somente se . Teorema do Núcleo e da Imagem: Dados dois espaços vetoriais reais de dimensão finita. Dada uma transformação linear entre eles, então:

Resultados Importantes Proposição: Dada uma transformação linear, temos que se

Resultados Importantes Corolário: Dada uma transformação linear de espaços vetoriais de dimensão iguais. Então as afirmações abaixo são equivalentes: (1) É sobrejetora (2) É bijetora (3) É injetora (4) Transforma base do domínio em base do contradomínio.

Isomorfismo Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear de entre eles. Dizemos que a transformação linear é um isomorfismo entre eles se é uma transformação bijetora (isto é, injetora e sobrejetora). Notação:

Automorfismo Definição: Dizemos que um isomorfismo entre espaços vetoriais reais é um automorfismo se os espaços são iguais, ou seja, T é um isomorfismo de um espaço nele mesmo. Proposição: Dado um isomorfismo sua transformação inversa é também um isomorfismo.

Resultados Importantes Proposição: Dados dois espaços vetoriais reais de mesma dimensão, então a transformação linear dada a seguir é um isomorfismo entre eles.

Resultados Importantes Teorema: Dois espaços vetoriais de dimensão finita são isomorfos se e somente se Exercícios: Transformações Lineares