Espaços e Subespaços Vetoriais TEMA Espaços e Subespaços Vetoriais Prof. Ms. Tailson Jeferson P. dos Santos

Soma de Subespaços Sejam e subespaços de um espaço vetorial . Então, é um subespaço vetorial de V. Se diremos que é soma direta dos subespaços e e denotaremos por

Exemplos Sejam Então e são subespaços de V e

Mais do que isso: Mostrar na camera documentos o significado de soma direta ou seja cada vetor de U+V so pode ser escrito de forma única como combinação dos vetores de U e V.

Exercício: Verificar se em que: Solução Portanto, soma direta.

Combinação Linear Sejam V espaço vetorial escalares

Então o vetor É um elemento de que chamaremos combinação linear de

Exemplos Sejam e O vetor pode ser escrito como combinação linear de , ou seja ou Ou ainda

O vetor pode ser escrito da seguinte forma: Portanto, dizemos que o vetor é uma combinação linear dos vetores

O conjunto { } é chamado Conjunto de Geradores de W. Subespaço Gerado Fixados , o conjunto W de todos os vetores de V que são combinação linear destes, é chamado subespaço gerado por Notação: O conjunto { } é chamado Conjunto de Geradores de W.

é um conjunto de Geradores para Porque todo vetor Pode ser escrito da forma: Assim, escrevemos:

é finitamente gerado porque Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K (nº finito) Se existem que geram V, dizemos que V è um espaço vetorial finitamente gerado Exemplo: Existem espaços vetoriais que não sao finitamente gerados, por exemplo o espaço dos polinomios na variavel x. . é finitamente gerado porque

Exercício Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:

Solução a) Ou seja, Assim, um genérico vetor de V é da forma: Assim:

Solução b) Ou seja, Assim, um genérico vetor de V é da forma:

Solução c) Um conjunto de geradores para U+V è dado pela uniao dos dois conjuntos, i.e.,: Esse conjunto de geradores nem sempre é o minimal.

Equações que Caracterizam Subespaços – Subespaços Próprios ou Triviais Para verificar se um subespaço é próprio ou trivial de um espaço : 1. Escrevemos um vetor genérico do espaço como combinação linear dos elementos do subespaço; Exemplo:

2. Escalonamos e por meio da matriz sua ampliada;

Possíveis Situações a) Sistema possível e determinado Conclusão: não é subespaço próprio de ou seja,

Exemplo:

Possíveis Situações b) Sistema Impossível se Conclusão: Não há soluções portanto não é subespaço de

c) Sistema possível e indeterminado Observe que para haver soluções z-y=0; sendo esta a equação que caracteriza este subespaço que é próprio.

Exercício Seja Encontrar as equações o caracterizam U. Solução: Seja C.L Isto é:

Portanto para que o sistema tenha solução, temos que

Dependência e Independência Linear V Espaço vetorial Dizemos que o conjunto é linearmente independente (L.I), se: Se: Dizemos que é um conjunto de vetores linearmente dependentes (L.D).

Para fazer isso, escrevamos a relação: Exemplo 01 Seja Vejamos se os vetores: são (L.I). Para fazer isso, escrevamos a relação: Assim, eles são (L.I)

Exemplo 02 O conjunto é (LD), pois temos a seguinte relação com coeficientes não todos nulos:

Geométrica (reta horizontal) (reta vertical) S1 e S2 são subconjuntos de V; elementos da Comb. Linear de e1;elementos da Comb. Linear de e1,e2. (reta vertical)

pois R dois é gerado pelos vetores e1 e e2, E vem a seguinte pergunta: Se acrescentarmos mais vetores aos conjuntos estes novo conjunto serão pois

E por que estes 2 conjuntos têm quantidades diferentes de geradores, se são geradores do mesmo espaço? Introduzir o conceito intuitivo de base para um espaço vetorial.

Observação Os elementos chamados geradores ou sistemas de geradores de podem ser um conjunto L.I ou L.D.

Base de um espaço vetorial Conj. L.I Conj. L.D Base de um espaço vetorial - conjunto ordenado: - formado por um conjunto de vetores L.I. - gera V. Proposição: De um conjunto de geradores de um espaço ou subespaço vetorial V é sempre possível extrair uma base.

? O conjunto é uma base do espaço ? Exemplo 03: É suficiente verificar se é um conjunto de geradores L.I. para (i) gera ? Dado ,queremos saber se existem a e b em tais que ? Isto corresponde a encontrar solução para o sistema:

Portanto, temos que gera V.

(ii) Vejamos agora se é LI: Teorema: n vetores em são L.I. se o determinante da matriz formada pelos n vetores (escritos como vetores linha ou coluna) for diferente zero. são LI. é uma base para V

Processo prático para determinar uma base de um subespaço do . Consiste em escalonar a matriz cujas linhas são os vetores geradores do subespaço. As linhas que não “zerarem” correspondem aos vetores geradores que forem LI. Exemplo 04: Determinar uma base para o seguinte subespaço do espaço do :

Solução: Portanto, os vetores (1,0,1,2) e (0,1,-1,-4) (correspondentes às linhas que não se anularam na matriz escalonada) formam a base para W.

Resultados importantes Seja V um espaço de dimensão finita n. Então: Qualquer conjunto com mais de n elementos em V é LD. Qualquer conjunto L.I de V pode ser completado para formar uma base de V. Qualquer conjunto L.I de V tem no máximo n elementos Qualquer conjunto L.I com n elementos é uma base de V

Portanto, se V é finitamente gerado, podemos dizer que ele tem Dimensão Proposição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Então, qualquer base de V tem o mesmo número de elementos (cardinalidade). A este número de elementos dá-se o nome de Dimensão de V. Portanto, se V é finitamente gerado, podemos dizer que ele tem dimensão finita

Pensar na dimensão de um espaço... Pressupõe extrair uma base deste espaço ou subespaço E observar sua cardinalidade ou quantidade de elementos Falar sobre o teorema da invariância. Seja V um conj. finitamente gerado, então duas bases quaisquer de V têm o mesmo número de elementos.

Dimensão da Soma de 2 Subespaços Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e U, W subespaços de V. Então

Exemplo: Sejam subespaços de V. Determinar as dimensões de U, W e . Verifique, pela fórmula cima, se . Solução: Seja Ou seja, Daí temos que U=[(1,1,0),(1,0,1)].

Visto que a matriz tem posto 2, esses vetores são L.I. e formam uma base para U. Assim Se . Ou seja, Posto: n. de linhas não nulas ; hiper – link para slide 15 Daí, e

resolvemos o sistema formado por suas equações: Solução: Para determinar , resolvemos o sistema formado por suas equações: Este sistema possui como solução o vetor (0,0,0).Daí, Portanto, utilizando a relação Temos: Hiper-link para slide 15; falar sobre os tipos de subespaços. Como é subespaço de , que tem dimensão 3, temos que

Exercício: Considere o espaço e seus subespaços Utilizando os vetores acima determine:

O conjunto é LI Solução: Verifiquemos se é LI:

Portanto o conjunto é L.D Logo, excluindo um dos vetores que é combinação linear dos outros dois, obtemos um conjunto L.I. Daí temos que É fácil ver por exemplo que o terceiro vetor é combinação linear dos outros dois, com escalares únicos iguais a 1.

Hiper – link para o slide 19

Coordenadas de um vetor em relação à uma dada base Seja Espaço vetorial sobre base de Comb. Linear de forma única ou Denotamos por: Sempre relacionamos um vetor a uma base escolhida. Toda vez que o vetor especificado

Assim, as coordenadas do vetor v na base B são 1, -3 e 5 ,ou seja, Exemplo: Consideremos a base canônica do Observe que: Assim, as coordenadas do vetor v na base B são 1, -3 e 5 ,ou seja, ou

Observação As coordenadas de dependem da base escolhida e da ordem dos de seus elementos. Todas as vezes que em um vetor não vier especificado a base de referência, significa que esta é a base canônica. Câmara documento: Um exemplo fácil mostrando esta diferença. Por exemplo:

Temos que a matriz das coordenadas de v na base B é : Vamos escolher agora outra base para Nosso exercício agora é encontrar as coordenadas do vetor v na base B´:

Por definição, às coordenadas de v na base B´ é dado pelos coeficientes a,b e c abaixo:

As coordenadas de v são -3,6 e -2 A matriz das coordenadas de v na base B´ é

Matriz mudança de Base Sejam Bases ordenadas do mesmo espaço vetorial e Escrever os vetores de (acima) como combinação linear dos vetores de Escrever os vetores de (acima) como combinação linear dos vetores de

Encontremos a matriz mudança de base Os coeficientes e ficam na mesma coluna, por isso o correspondente ao elemento é fixado com o mesmo índice da ordem do elemento em

onde e e Portanto

Façamos agora Lembrando que escreveremos agora : e e

Portanto O produto das matrizes e O que implica que as matrizes são inversíveis e

“Somente no dicionário o sucesso vem antes do trabalho.” Albert Einstein