Sinais e Sistemas – Capítulo 2 Aula 1 Sinais e Sistemas – Capítulo 2 Simon Haykin Aula 9

Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças As equações de diferenças são usadas para representar sistemas de tempo discreto As equações diferenciais são usadas para representar sistemas de tempo contínuo Aula 9

Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças A forma geral de equações diferenciais com coeficientes constantes é onde x(t) é a entrada do sistema e y(t) é a saída. Aula 9

Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças A forma geral de equações de diferenças com coeficientes constantes é similar, mas com as derivadas substituídas por valores retardados da entrada x[n] e da saída y[n] onde x[k] é a entrada do sistema e y[k] é a saída. Aula 9

Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças Equação diferencial Equação de diferença N é um número inteiro chamado de ordem da equação, e corresponde à derivada mais elevada (no caso de equação diferencial) ou a memória máxima que envolve a saída do sistema (no caso de equação de diferença) Em termos práticos, a ordem representa o número de dispositivos de armazenamento de energia presentes no sistema Aula 9

Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças Exemplo 1: Sistema RLC Observe que a ordem N é 2 e o sistema possui dois elementos de armazenamento de energia: o capacitor e o indutor. Aula 9

Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças Exemplo 2: Sistema massa-mola Posição Velocidade Aceleração Observe que a ordem N é 2 e o sistema possui dois elementos de armazenamento de energia: a massa e a mola. Aula 9

Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças Exemplo 3: Relação de entrada e saída de um sistema que processa dados em um computador Observe que a ordem N é 2 pois o sistema possui uma memória máxima da saída igual a 2. A memória em um sistema de tempo discreto é análoga ao armazenamento de energia em um sistema de tempo contínuo. Aula 9

Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças Dada a forma geral de uma equação de diferença então podemos reescrevê-la na forma recursiva A qual indica que a saída y[n] pode ser obtida a partir da entrada e de valores passados da saída. Aula 9

Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças Exemplo: Considere o sistema de tempo discreto modelado como Descreva o sistema sob uma forma recursiva e determine as 3 primeiras amostras de saída. Solução: Aula 9

Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças Observe que para iniciar o processo em n=0 é necessário conhecer os dois valores passados mais recente da saída, y[-1] e y[-2], que são as condições iniciais do sistema. Aula 9

Representação por Equações Diferenciais e de Diferenças As condições iniciais resumem todas as informações sobre o passado do sistema que são necessárias para determinar as saídas futuras. Em geral, o número de condições iniciais necessárias é igual à ordem do sistema. No caso de sistemas de tempo contínuo, as condições iniciais são os valores das N derivadas da saída avaliadas no tempo t0 As condições iniciais em sistemas de tempo contínuo estão relacionadas com os valores iniciais dos dispositivos de armazenamento de energia (tensões iniciais em capacitores, correntes iniciais em indutores,...) Aula 9

Resolvendo Equações Diferenciais e de Diferenças É conveniente expressar a saída como uma soma de dois componentes: Um associado somente com as condições iniciais; Outro devido somente à entrada. Denominaremos o componente associado com as condições iniciais de resposta natural do sistema, y(n). O componente da saída devido somente à entrada é denominado resposta forçada do sistema, y(f). A resposta natural é a saída do sistema para entrada zero, enquanto que a resposta forçada é a saída do sistema com condições iniciais nulas. Um sistema com condições iniciais nulas (nenhuma energia armazenada ou nenhuma memória) é dito estar em repouso. Aula 9

Resolvendo Equações Diferenciais e de Diferenças A resposta natural mostra como o sistema dissipa energia ou memória do passado, representadas por condições iniciais distintas de zero. A resposta forçada mostra o comportamento do sistema, que é “forçado” por uma entrada quando o sistema está em repouso. Aula 9

A Resposta Natural Considere a equação diferencial em sua forma geral Considerando x(t)=0, o que nos leva à equação homogênea Logo, a resposta natural y(n) tem a forma em que ri são as N raízes da equação característica do sistema. Aula 9

A Resposta Natural Equação homogênea Logo, a resposta natural y(n) tem a forma em que ri são as N raízes da equação característica do sistema A substituição de y(n) na equação homogênea estabelece sua solução para qualquer conjunto de constantes ci. Aula 9

A Resposta Natural Considere a equação de diferenças em sua forma geral Considerando x[n-k]=0, o que nos leva à equação homogênea Logo, a resposta natural y(n) tem a forma em que ri são as N raízes da equação característica do sistema A substituição de y(n) na equação homogênea estabelece sua solução para qualquer conjunto de constantes ci. Aula 9

A Resposta Natural Equação característica de tempo contínuo Equação característica de tempo discreto Observe que as equações características de tempo contínuo e de tempo discreto diferem uma da outra. Aula 9

A Resposta Natural A forma da resposta natural se modifica ligeiramente quando as equações características possuem raízes repetidas. Se a raiz for repetida p vezes, então incluímos p termos distintos nas soluções de y(n) associadas com ri, envolvendo as p funções Tempo contínuo Tempo discreto Natureza de cada termo na resposta natural: ri reais => exponenciais reais ri imaginárias=>senóides ri complexas=> Senóides exponencialmente amortecidas Aula 9

A Resposta Natural Exemplo: Considere o circuito RL como um sistema cuja entrada é a tensão aplicada x(t) e a saída é a corrente y(t). Encontre uma equação diferencial que descreva este sistema e determine a resposta natural do sistema para t>0, supondo que a corrente que atravessa o indutor no instante t=0 seja y(0)=2 A. Solução: Aula 9

A Resposta Natural A resposta natural é a solução da equação homogênea cuja solução, sabendo que N=1, é em que r1 é a raiz da equação característica O coeficiente c1 é determinado de forma que a resposta satisfaça a condição inicial y(0)=2. Neste caso, c1=2, de modo que Aula 9

A Resposta Forçada A resposta forçada é a solução para a equação diferencial ou de diferenças correspondente à entrada dada, supondo-se que as condições iniciais sejam nulas. Consiste na soma de dois componentes: Um termo que tem a mesma forma que a resposta natural Uma solução particular y(p) A solução particular normalmente é obtida supondo que a saída do sistema tenha a mesma forma geral que a entrada Exemplo 1: se a entrada é x[n]=an, então supomos que a saída tenha a forma y(p)[n]=can, e encontramos a constante c . Exemplo 2: se a entrada é x[n]=Acos(Ωn+Φ), então supomos que a saída tenha a forma y(p)[n]=c1cos(Ωn)+c2sen(Ωn), onde c1 e c2 são determinadas a fim de que y(p)[n] satisfaça a equação de diferença do sistema. Aula 9

A Resposta Forçada Aula 9

A Resposta Forçada Exemplo: Considere o circuito RL como um sistema cuja entrada é a tensão aplicada x(t) e a saída é a corrente y(t). Encontre uma solução particular para este sistema, sabendo que x(t)=cos(ω0t)V. Solução: Aula 9

A Resposta Forçada Supomos uma solução particular da forma Então, a equação diferencial fica como segue: Aula 9

A Resposta Forçada Exemplo: Considere o circuito RL como um sistema cuja entrada é a tensão aplicada x(t) e a saída é a corrente y(t). Encontre a resposta forçada, sabendo que x(t)=cos(t)V, R=1Ω, L=1H. Aula 9

A Resposta Forçada Solução: Reposta natural: Reposta Particular: Reposta Forçada: Aula 9

A Resposta Forçada Reposta Forçada: Aula 9

A Resposta Completa É a soma da resposta natural e a resposta forçada Obtém-se aplicando os procedimentos para determinação da resposta forçada, mas com as condições iniciais reais em vez de nulas Aula 9

A Resposta Completa Exemplo: Considere o circuito RL como um sistema cuja entrada é a tensão aplicada x(t) e a saída é a corrente y(t). Encontre a resposta forçada, sabendo que x(t)=cos(t)V, R=1Ω, L=1H e y(0)=2A. Solução: Reposta forçada: Reposta completa: Aula 9

A Resposta Completa Reposta Completa: Reposta Natural: Reposta Forçada: Aula 9