Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Geometria e Álgebra Transformações Geométricas

Motivação: Geometria de objetos gráficos Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Motivação: Geometria de objetos gráficos MGattass Transformações Geométricas

Motivação: algoritmo de Traçado de Raios Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Motivação: algoritmo de Traçado de Raios Pixel (RGB) Luz ye Câmara Iluminação ze xe Objetos zo yo xo MGattass Transformações Geométricas

Coordenadas Cartesianas Plano ou R2 Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Coordenadas Cartesianas Plano ou R2 y x y x MGattass Transformações Geométricas

Coordenadas Cartesianas Espaço ou R3 Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Coordenadas Cartesianas Espaço ou R3 y x z MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Soma de vetores y y1+y2 p1+p2 x1+x2 y1 y2 x x1 x2 MGattass Transformações Geométricas

Produto de vetor por escalar Computação Gráfica Interativa - Gattass Produto de vetor por escalar 3/25/2017 y a < 0 a > 1 ax ay 0 < a < 1 y x x MGattass Transformações Geométricas

Distância entre vetores Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Distância entre vetores y y2 -p1 (x2-x1) (y2-y1) p2-p1 p2 y1 p1 x x1 x2 MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Aplicação: Esfera MGattass Transformações Geométricas

Propriedades Gerais de Espaços Vetoriais Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Propriedades Gerais de Espaços Vetoriais Comutatividade: p + q = q + p Associatividade: (p + q)+r = p + ( q + r) Vetor nulo: p + 0 = 0+ p = p Inverso aditivo: p + (- p) = 0 Distributividade: (a+b)p = a p + b p e a(p + q) =a p +a q Multiplicação por 1: 1. p = p MGattass Transformações Geométricas

Espaço Vetorial Funções de [a,b]R Computação Gráfica Interativa - Gattass Espaço Vetorial Funções de [a,b]R 3/25/2017 F, G (F+G)(x)=F(x)+G(x) (aF)(x)=aF(x) G(x) F(x) a b x Comutatividade: p + q= q + p Associatividade: (p + q)+r= p + (q + r) Vetor nulo: p + 0 = 0+ p = p Inverso aditivo: p + (- p) = 0 Distributividade: (a+b)p = a p + b p e a(p + q) =a p +a q Multiplicação por 1: 1. p = p MGattass Transformações Geométricas

Espaço Vetorial Matrizes Rnm Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Espaço Vetorial Matrizes Rnm Soma: Produto por escalar: MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Matrizes especiais MGattass Transformações Geométricas

Matrizes especiais (cont) Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Matrizes especiais (cont) MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Combinação Linear Independência linear: MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Base Canônica ijk x y z i j k xi yj zk MGattass Transformações Geométricas

Aplicações: retas e planos Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Aplicações: retas e planos MGattass Transformações Geométricas

Aplicação: Série de Fourier Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Aplicação: Série de Fourier x f(x) -  MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Combinação Convexa p1 p2 p(a) p1 p2 p3 p(a,b) p1 p2 p3 p4 MGattass Transformações Geométricas

Generalização de Norma Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Generalização de Norma para todo se e somente se para todo para todo MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Outras normas no Rn MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Norma: aplicações Unitário: Distância: MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Normas de função F F(x) a b x MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Distância e erro F, G G(x) F(x)  2 G(x) -F(x) a b x MGattass Transformações Geométricas

Distância entre superfícies Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Distância entre superfícies distância de Hausdorff MGattass Transformações Geométricas

Produto interno: definição geomética Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Produto interno: definição geomética  desigualdade de Schwarz MGattass Transformações Geométricas

Produto interno: expressão algébrica Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Produto interno: expressão algébrica k  j i no R2 MGattass Transformações Geométricas

Produto interno: definição algébrica Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Produto interno: definição algébrica  x x i MGattass Transformações Geométricas

Aplicações do produto interno: cálculo de ângulos Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Aplicações do produto interno: cálculo de ângulos   MGattass Transformações Geométricas

Aplicações do produto interno: projeção na direção ... Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Aplicações do produto interno: projeção na direção ...  Projeção na direção de : Projeção na direção perpendicular a : MGattass Transformações Geométricas

Aplicação do produto interno reflexão de um vetor Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Aplicação do produto interno reflexão de um vetor n ^ h r pn p MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Aplicações do produto interno: equação de um plano normal a que dista d da origem z d y x MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass Aplicações do produto interno: posição de um ponto em relação a um plano 3/25/2017 x y z d  lado positivo  lado negativo MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Aplicações do produto interno: posição de um ponto em relação a uma reta no R2 y d x MGattass Transformações Geométricas

Produto interno: generalização Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Produto interno: generalização Bilinearidade: q p , ' + = q p , a = ' , q p + = q p , a = Comutatividade ( simetria ) : p q , = Positividade : , ³ p s ó é igual a zero se = MGattass Transformações Geométricas

Produto interno e norma de funções Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Produto interno e norma de funções MGattass Transformações Geométricas

Ortogonaliadade das funções da base de Fourier Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Ortogonaliadade das funções da base de Fourier MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Bases ortonormais Seja {p1, p2, ...,pn} tal que então: MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Produto Vetorial p2 p1  MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Produto Vetorial p1  p2 i j k × MGattass Transformações Geométricas

Produto Vetorial forma de lembrar Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Produto Vetorial forma de lembrar MGattass Transformações Geométricas

Matriz do produto vetorial Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Matriz do produto vetorial MGattass Transformações Geométricas

Produto vetorial aplicados 2 vezes Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Produto vetorial aplicados 2 vezes MGattass Transformações Geométricas

Aplicações do produto vetorial: movimento de um corpo rígido Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Aplicações do produto vetorial: movimento de um corpo rígido B B’ B’ B A MGattass Transformações Geométricas

Aplicações do produto vetorial: áreas e normais Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Aplicações do produto vetorial: áreas e normais Cálculo de áreas e normais p3  v13 v12 h p2 p1 Cálculo de ângulos MGattass Transformações Geométricas

Aplicações do produto vetorial: interior e exterior Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Aplicações do produto vetorial: interior e exterior p3 v31 v12 v23 p2 pi p1 pe MGattass Transformações Geométricas

Aplicações do produto vetorial: orientação e consistência de malha Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Aplicações do produto vetorial: orientação e consistência de malha p3 p7 v23 v31 p2 p5 = p6 v12 p1 p4 p1 p2 p3 p1 p3 p7 p1 p2 p4 p4 p5 p6 p4 p5 p2     MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Produto misto h MGattass Transformações Geométricas

Produto Misto e Determinante Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Produto Misto e Determinante Mostre que: c.q.d. MGattass Transformações Geométricas

Produto Misto propriedade Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Produto Misto propriedade Mostre que: MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 FIM MGattass Transformações Geométricas

Revisão do 2o grau que não entrou no capítulo Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Revisão do 2o grau que não entrou no capítulo MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Produto de Matrizes neutro: MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Determinante - + MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Determinante caso geral: O(n!) MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Inversa inversa: O(n!) solução de sistemas de equações lineares: MGattass Transformações Geométricas

Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Exercício: inversa MGattass Transformações Geométricas

Decomposição de matrizes Computação Gráfica Interativa - Gattass 3/25/2017 Decomposição de matrizes Decomposição LDU: O(n3) Determinante: O(n3) Ou seja para n pequenos (≤4) podemos utilizar as fórmulas diretas, mas para n maiores devemos primeiro fazer uma decomposição tipo LDU. MGattass Transformações Geométricas