Equações do 1o grau com duas incógnitas Exemplo: Em uma partida de vôlei disputada em duplas, Raul e Felipe marcaram 20 pontos juntos em um jogo. Pontos de Raul: x Portanto: então: x + y = 20 Pontos de Felipe: y Uma equação é do 1o grau com duas incógnitas, x e y, quando pode ser escrita na forma ax + by = c, com a ≠ 0 e b ≠ 0. Exemplo: 4x – 5y = 6, pois é equivalente a 4x + (–5)y = 6 (a = 4, b = –5 e c = 6)

Determinação de soluções de equações do 1o grau com duas incógnitas Exemplo: Veja como podemos determinar pares ordenados que são soluções da equação 5x – 2y = 4. Fazendo x = 2 Fazendo y = 0 5 . (2) – 2y = 4 5x – 2 . (0) = 4 10 – 2y = 4 5x + 0 = 4 – 2y = 4 – 10 5x = 4 – 2y = – 6 x = (– 1) . – 2y = – 6 . (– 1) 2y = 6 Logo, o par ordenado é . y = = 3 (x, y) Logo, o par ordenado é (2, 3).

Gráfico de uma equação do 1o grau com duas incógnitas Exemplo: vamos determinar alguns pares ordenados de números racionais que são soluções da equação 2x + y = 1 e representá-los graficamente. (−2, 5) eixo y x = 2, temos y = – 3 (2, – 3) x = 1, temos y = – 1 (1, – 1) (0 ,1) eixo x (1 ,−1) x = 0, temos y = 1 (0, 1) (2 ,−3) x = – 2, temos y = 5 (–2, 5) Os pontos correspondentes às soluções de uma equação do 1o grau com duas incógnitas estão sempre alinhados, isto é, estão todos sobre uma mesma reta.

Na partida de vôlei, Raul e Felipe marcaram 20 pontos juntos, porém Raul marcou o triplo dos pontos de Felipe. Pontos de Raul: x Portanto: 3x = y x + y = 20 Pontos de Felipe: y Como as duas equações fazem parte de um mesmo sistema, então podemos escrever: x + y = 20 3x = y Resolver um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas significa procurar as soluções comuns às duas equações.

Resolução de sistemas de duas equações do 1o grau com duas incógnitas: método da substituição isolamos y 2x + y = 270 I 2x + y = 270 3x + 2y = 460 II y = 270 – 2x y = 270 – 2x I I em II 3x + 2y = 460 II 3x + 2(270 – 2x) = 460 3x + 540 – 4x = 460 3x – 4x = 460 – 540 – 1x = – 80 substituindo em I x = 80 y = 270 – 2 . 80 y = 270 – 160 y = 110

Resolução de sistemas de duas equações do 1o grau com duas incógnitas: método de comparação Link para ambiente online isolamos o y nas duas equações x + y = 5 2x – y = 4 I II y = 5 – x y = 2x – 4 I II comparamos as equações y = 5 – x I 5 – x = 2x – 4 y = 2x – 4 II –2x – x = – 4 – 5 –3x = – 9 3x = 9 substituímos em I ou II x = = 3 y = 5 – 3 y = 2

Inequações As desigualdades que contêm letras que representam números desconhecidos são chamadas de inequações. Exemplos: x + y ≠ 8 n2 ≤ x ≥ 5 x > 2 2y < 25 Soluções de uma inequação Vamos resolver, por exemplo, a inequação x ≤ 4 nos conjuntos dos , , . Nos naturais : Nos racionais : S = {0, 1, 2, 3, 4} S = {x racional, tal que x ≤ 4} Nos inteiros : S = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}

Inequações do 1o grau com uma incógnita Chamamos de inequações do 1o grau com uma incógnita a toda inequação que pode ser escrita, com a ≠ 0, em uma das seguintes formas: ax > b ou ax < b ou ax ≥ b ou ax ≤ b. Resolução das inequações do 1o grau com uma incógnita no conjunto dos números racionais Exemplo: – 3 – 2x < 11 3 + 5(– 4 – x) ≤ x – 1 + 2x + 3 – 3 – 2x < 11 + 3 3 – 20 – 5x ≤ x – 1 + 2x – 2x < 14 – 5x – x – 2x ≤ – 1 + 20 – 3 (– 1) . – 2x < 14 . (– 1) (– 1) . – 8x ≤ + 16 . (– 1) 2x > – 14 8x ≥ – 16 > – x ≥ – x > – 7 x ≥ – 2

Sistemas de inequações do 1o grau com uma incógnita Exemplo: x + 8 2x 15 Perímetro = 2x + (x + 8) + 15 = 3x + 23 Quais são os valores de x para que esse perímetro seja maior do que 32 m e menor do que ou igual a 41 m ? 3x + 23 > 32 32 < 3x + 23 ≤ 41 ou 3x + 23 ≤ 41

Resolvemos cada inequação separadamente e depois procuramos as soluções comuns. 3x + 23 > 32 3x + 23 > 32 3x + 23 ≤ 41 3x + 23 ≤ 41 3x > 32 – 23 3x ≤ 41 – 23 3x > 9 3x ≤ 18 > ≤ x > 3 x ≤ 6 Devemos ter, ao mesmo tempo, x > 3 e x ≤ 6 3 6 3 < x ≤ 6

Ângulos A ideia de ângulo Ângulo é a figura formada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas são seus lados, e o ponto de origem das duas semirretas é seu vértice. Exemplo: P R M USELMAN / F1 ONLINE / DIOMEDIA PETR JILEK / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES Ângulo: ou ou . Lados: e Vértice: R

Tipos de ângulos Ângulo raso Ângulo reto Ângulo nulo Ângulo agudo B C Ângulo raso Ângulo reto A B Ângulo nulo CASA DE TIPOS / ARQUIVO DA EDITORA P Ângulo agudo R Ângulo obtuso E R P A Q B B O F

Posições relativas de duas retas em um plano q b a a e b são retas paralelas (a // b) r e s são retas concorrentes perpendiculares (r s) p e q são retas concorrentes oblíquas (p q)

Medida de ângulo de volta de volta de volta 1 volta completa volta de volta Ao dividirmos a circunferência em 360 partes iguais, dizemos que a medida da abertura desse ângulo é de um grau e indicamos essa medida por 1º.

Submúltiplos do grau: minuto e segundo 1 minuto corresponde a do grau. Representamos 1’. 1 segundo corresponde a do minuto. Representamos 1’’. 1º = 60’ Portanto: 1’ = 60’’ Exemplos: 0,5º = 30’ 50,5º = 50º + 0,5º = 50º 30’ 72’’ = 60’’ + 12 = 1’12’’

Operações com medidas de ângulos Adição de medidas de ângulos: Exemplos: 28º 11’ 35’’ + 10º 40’ 21’’ 3º 11’ 5’’ + 5º 55’ 57’’ 38º 51’ 56” 8º 66’ 62” 8º 67’ 2’’ Trocamos 60’’ por 1’ 9º 7’ 2’’ Trocamos 60’ por 1º Subtração de medidas de ângulos: Exemplos: 89º 60’’ 12º 54’ 59’’ – 7º 2’ 30’’ 90º – (2º 10’) 90º 0’ – 2º 10’ 5º 52’ 29” 87º 50’

Multiplicação de número natural por medida de ângulo: Exemplos: 7º 2’ 20’’ × 2 2º 30’ 32’’ × 2 14º 4’ 40’’ 4º 60’ 64’’ 4º 61’ 4’’ 5º 1’ 4’’ Divisão de medida de ângulo por um número natural diferente de zero: Exemplos: (34º 3’ 15’’) : 3 (12º 54’ 50’’) : 2 = 6º 27’ 25’’ Como 34 não é múltiplo de 3, fazemos 34º 3’ 15’’ = 33º 63’ 15’’ (33º 63’ 15’’) : 3 = 11º 21’ 5’’

Dizemos que dois ângulos são congruentes quando eles têm a mesma Ângulos congruentes Dizemos que dois ângulos são congruentes quando eles têm a mesma medida. B G C A F Dizemos: E m( ) = 20º m( ) = 20º Ângulos adjacentes A Dizemos que eles são adjacentes, pois têm um lado comum ( ), e as regiões determinadas por eles não têm mais pontos comuns. O B C

Ângulos complementares e ângulos suplementares 50º A 40º B Quando a soma das medidas de dois ângulos é 90º, dizemos que eles são ângulos complementares. 40º + 50º = 90º 70º D 110º C Quando a soma das medidas de dois ângulos é 180º, dizemos que eles são ângulos suplementares. 70º + 110º = 180º

Ângulos adjacentes e suplementares Ângulos adjacentes e suplementares têm um lado comum e os outros dois lados são semirretas opostas, ou seja, formam uma reta. C A B O Adjacentes pela posição de um em relação ao outro. Suplementares porque a soma de suas medidas é 180º.

Ângulos opostos pelo vértice = = CASA DE TIPOS / ARQUIVO DA EDITORA Conclusão: duas retas com um só ponto comum formam dois pares de ângulos opostos pelo vértice. Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.

Bissetriz de um ângulo Bissetriz de um ângulo é a semirreta de origem no vértice que determina, com os lados do ângulo, dois ângulos congruentes, ou seja, de medidas iguais. A A B C M B C M

Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal CASA DE TIPOS / ARQUIVO DA EDITORA As medidas de , , e são mantidas pelos correspondentes , , e , isto é, a = e, b = f, c = g, d = h.

Polígonos Polígonos e seus ângulos F G H Vamos analisar os seguintes polígonos: A B C D E Polígono: Quadrilátero (ABCD) Polígono: Triângulo (EFG) Ângulo interno é formado por um lado e pelo prolongamento do outro. Ângulos internos: , e . , , e : ângulos internos : um dos ângulos externos. : um dos ângulos externos.

Em todo triângulo, a soma das medidas dos três ângulos Triângulo – soma das medidas de seus ângulos internos C A B Em todo triângulo, a soma das medidas dos três ângulos internos é igual a 180º.

Quadrilátero convexo – soma das medidas de seus ângulos internos B C B m( ) + m( ) + m( ) + m( ) = 360º Em todo quadrilátero convexo, a soma das medidas dos quatros ângulos internos é igual a 360º.

Polígono convexo – soma das medidas de seus ângulos internos Observe: Triângulo Quadrilátero Pentágono 3 lados 4 lados 5 lados Soma das medidas dos ângulos internos é 2 . 180º Soma das medidas dos ângulos internos é 3 . 180º Soma das medidas dos ângulos internos é 1 . 180º A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é dada por: (n – 2) . 180º

Paralelogramo – propriedades de seus ângulos internos É todo quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. Em qualquer paralelogramo, dois ângulos opostos são congruentes (têm medidas iguais) e dois ângulos não opostos são suplementares (soma 180º). a + b = 180º b + c = 180º c b c + d = 180º d + a = 180º b = d a d a = c

Recebem esse nome porque têm todos os lados com medidas iguais Polígonos regulares Recebem esse nome porque têm todos os lados com medidas iguais (congruentes) e também todos os ângulos internos com medidas iguais (congruentes). Links para ambiente online Triângulo regular ou triângulo equilátero Quadrilátero regular ou quadrado Pentágono regular Hexágono regular Octógono regular