Subespaço, base e dimensão Sejam uma matriz e o conjunto solução do sistema linear homogêneo (a) Se e pertencem a , então também pertencem a . (b) Se pertence a , então também pertence a para todo escalar .

O espaço solução do é um subespaço de . Todo subespaço é espaço solução de . Exemplos páginas 150-151

Definição (Geração de um Subespaço) Seja um subespaço de , dizemos que: Os vetores pertencem a , geram ; ou é um conjunto de geradores de ; ou é o subespaço gerado por ; Se qualquer vetor de é combinação linear de .

Exemplo 1: Sejam e vetores , tais que é um conjunto de geradores de , qualquer é combinação linear de e . p/ e

p/ p/

p/ p/

p/ p/

P/ p/

Teorema I: Seja subespaço de e um conjunto de vetores de que: são L.I Geram Então, um conjunto com mais de m vetores em é L.D.

Exemplo 2: Um conjunto com m vetores em será L.D se m>n. ( Ex: m=3 e n=2 )

Definição (Base) : Seja um subespaço de , dizemos que um subconjunto de é uma base de , se : é um conjunto de geradores de ; e é L.I Exemplo 3: Seja uma reta que passa pela origem. Como o vetor diretor é não nulo e gera todos os pontos da reta, então ` é uma base de

Exemplo 4: Seja um plano que passa pela origem . Encontre uma base para o plano Um ponto satisfaz a equação se e somente se e Para todo e para .

Assim, o plano pode ser descrito como Ou pode ser escrito como uma soma de vetores O que equivale a: tal que

Logo é uma base do plano , pois é combinação linear de e ; e e são L.I. Em um conjunto com mais de n vetores é L.D. L.I L.D Máx de L.I Mín de geradores Dimensão