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GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Sombras - Resumo © antónio de campos, 2010.

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GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Sombras - Introdução © antónio de campos, 2010.

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Sombras - Resumo © antónio de campos, 2010

2 GENERALIDADES A sombra na Geometria Descritiva é uniforme, ao contrário da realidade. Os componentes básicos da sombra (de um ponto neste caso) são os seguintes: L – fonte luminosa; l – raio luminoso; A – objecto (ponto) exposto à situação luminosa; A s – sombra do ponto A no plano α (ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano α). α A L AsAs l

3 FONTE LUMINOSA A fonte luminosa pode situar-se a uma distância finita (considera-se um foco luminoso) ou a uma distância infinita (considera-se uma direcção luminosa). α L l l α l l foco luminoso direcção luminosa

4 DIRECÇÃO LUMINOSA CONVENCIONAL A direcção luminosa convencional (ou direcção convencional da luz) é considerada a direcção luminosa ideal para as pessoas dextras escreverem. A luz provém de cima, da esquerda e de trás, com um ângulo de amplitude de cerca de 35º 26. É convencionalmente representada por φº. As projecções da recta l (raio luminoso da direcção convencional da luz) fazem 45º com o eixo x. x xz xy A l A2A2 A1A1 l1l1 l2l2 φºφº φºφº 45º x l2l2 l1l1 h αr h α fαfα (e 1 ) f αr e 2 A2A2 A1A1 ArAr lrlr φºφº

5 SOMBRA PROJECTADA, SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA ESPACIAL A sombra projectada (ou produzida) é a sombra que um objecto produz numa superfície. A sombra própria é a parte do objecto que se encontra sombreada. A sombra espacial é a porção do espaço compreendida entre a sombra própria e a sombra projectada. α L l l A B C l AsAs BsBs CsCs

6 x xz xy SOMBRA REAL E SOMBRA VIRTUAL A sombra real é a sombra que um objecto produz na superfície do primeiro plano de projecção que intersecta o raio da sombra (o raio luminoso depois de passar pelo objecto). Só há uma sombra real por objecto. Só se contempla casos no 1.º diedro. A sombra virtual é a sombra que um objecto produz na superfície de outros planos que intersecta o raio da sombra, depois de ter intersectado o primeiro plano de projecção. Pode haver mais de que uma sombra virtual. Para simplificar as anotações, são omitidas as projecções da sombra real e da sombra virtual no eixo x. L A AsAs AvAv l x l2l2 l1l1 A2A2 A1A1 A s2 A v1 L2L2 L1L1

7 SOMBRA DE UM SEGMENTO DE RECTA – Noção de Ponto de Quebra Pretende-se a sombra real do segmento de recta [AB] nos planos de projecção. Em alternativa à solução indicada em baixo, seria possível localizar o ponto de quebra (ponto Q) através da intersecção do segmento de recta da sombra virtual do ponto A (A v2 ) e da sombra real do ponto B (B s2 ) com o eixo x. x xz xy l l l A B A2A2 A1A1 B1B1 B2B2 BsBs AsAs BvBv x A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 A s1 l2l2 l2l2 l2l2 l1l1 l1l1 l1l1 B s2 B v1 Q QsQs

8 SOMBRA DE UM SEGMENTO DE RECTA PARALELO A UM DOS PLANOS DE PROJECÇÃO Pretende-se a sombra real do segmento de recta horizontal [AB]. x xz xy l l l A B A2A2 A1A1 B1B1 B2B2 BsBs AsAs x A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 l2l2 l2l2 l2l2 l1l1 l1l1 l1l1 A s1 B s1

9 SOMBRA DE UMA RECTA OBLÍQUA NOS PLANOS DE PROJECÇÃO Pretende-se a sombra projectada da recta r nos planos de projecção, através da sombra da parte da recta r que se localiza no 1.º diedro, o segmento de recta [FH]. x xz xy l l F H AsAs x A2A2 A1A1 l2l2 l2l2 l1l1 A s2 r A Q F s H s r1r1 r2r2 H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 l1l1 r s1 r s2 F s2 H s1 QsQs

10 SOMBRA DE UMA RECTA PARALELA NOS PLANOS DE PROJECÇÃO Pretende-se a sombra projectada da recta frontal f nos planos de projecção, através da sombra da parte da recta f que se localiza no 1.º diedro, a semi-recta HA. x xz xy l l H AsAs x A2A2 A1A1 l2l2 l2l2 l1l1 A s2 f A Q H s f1f1 f2f2 H2H2 H1H1 l1l1 f s1 f s2 H s1 f1f1 f2f2 QsQs

11 ENTENDIMENTO ESPACIAL DA SOMBRA DE RECTAS Para determinar a sombra de uma recta nos planos de projecção, conduz-se pela recta, um plano luz/sombra (ou plano luminoso), definido pela recta e pela direcção luminosa (quando se trata de uma fonte luminosa situada a uma distância infinita), ou definido pela recta e pelo foco luminosos (quando se trata de uma fonte luminosa situada a uma distância finita). x xz xy l l F H AsAs r A Q F s H s hλhλ λ fλfλ l B BsBs l CsCs x xz xy L l F H AsAs r A Q F s H s hλhλ λ fλfλ l B BsBs l CsCs C C

12 MÉTODO DAS SOMBRAS VIRTUAIS Para determinar a sombra projectada de uma figura plana nos planos de projecção, pode-se recorrer à determinação da sombra real ou sombra virtual dos pontos (vértices) da figura plana. x xz xy A B C AsAs BsBs CsCs l l l l BvBv AvAv θ

13 MÉTODO PLANO LUZ/SOMBRA PASSANTE Outra forma de determinar a sombra projectada de uma figura plana nos planos de projecção, é através de um plano luz-sombra passante que localiza os pontos que a figura plana projecta sobre o eixo x, ou seja os pontos de quebra da sombra. Direcção luminosa no lado esquerdo, e foco luminoso no lado direito. x xz xy ν A B C l λ i P Q QsQs PsPs BsBs AsAs CsCs L x xz xy ν A B C λ i P Q QsQs PsPs BsBs AsAs CsCs

14 MÉTODO PARA IDENTIFICAÇÃO DA SOMBRA PRÓPRIA NUMA FIGURA PLANA Apesar de na maioria das vezes ser aparente a face da figura plana que está sombreada, existe um método para determinar a sombra própria numa figura plana. Considerar um movimento rotativo qualquer e analisar a partir do mesmo vértice, a sequência na figura e na figura-sombra. Se as duas sequências apresentam a mesma ordem, a face visível está iluminada. x xz xy A B C AsAs BsBs CsCs l l l l BvBv AvAv θ

15 NORMAS PARA OS TRACEJADOS DAS SOMBRAS Apesar do desenho digital possibilitar um sombreado regular, existem normas consensuais para a indicação de sombras em desenho a papel, utilizando um tracejado com as seguintes situações: Sombra própria - tracejado paralelo ao eixo x, em ambas as projecções; Sombra projectada nos planos de projecção, via direcção luminosa – tracejado perpendicular à direcção luminosa, em ambas as projecções; Sombra projectada nos planos de projecção, via foco luminoso – tracejado a 45º (a.d.) em ambas as projecções, ou seja perpendicular às projecções da direcção convencional da luz.

16 FIGURAS PLANAS CONTIDAS EM PLANOS NÃO PARALELOS AOS PLANOS DE PROJECÇÃO Pretende-se a sombra projectada do triângulo [ABC] nos planos de projecção, situado no 1.º diedro e contido num plano oblíquo α, considerando um foco luminoso L. x L2L2 L1L1 f α h α A2A2 A1A1 C2C2 C1C1 B2B2 B1B1 Determinar as sombras reais dos três vértices do trângulo. A s2 B s2 C s1 Como as sombras reais existem em planos diferentes, há pontos de quebra, que serão obtidos via o método das sombras virtuais (como opção). QsQs B v1 QsQs A v1

17 Círculos Contidos em Planos Paralelos a um dos Planos de Projecção No caso dos círculos, primeiro é averiguar se a sombra tem pontos de quebra, através do método do plano luz/sombra passante. Se a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano que contém o círculo, é exterior ao círculo, não há pontos de quebra. Pretende-se a sombra projectada do círculo nos planos de projecção, situado no 1.º diedro e contido num plano horizontal ν, considerando direcção convencional da luz. x (f ν ) O2O2 O1O1 I2I2 I1I1 l1l1 i 2 i1i1 Determinar a parte da sombra que se situa no SPHA, que será um segmento de círculo. O v1 P1P1 Q1Q1 PsPs QsQs Determinar a parte da sombra que se situa no SPFS, que será uma elipse; através de um quadrado que inscreve o círculo na projecção horizontal, transpondo o círculo para o paralelograma na projecção frontal para desenhar a sombra. O s2 A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 C2C2 C1C1 H 2 H1H1 C s2 H v2 D 2 D1D1 G 2 G1G1 D s2 G v2 E2E2 E1E1 F 2 F1F1 E s2 F s2 J 2 J1J1 M 2 M1M1 J s2 M v2 K 2 K1K1 L 2 L1L1 K s2 L v2 l2l2

18 LINHA SEPARATRIZ LUZ/SOMBRA No caso de figuras planas, apenas uma das faces pode ter sombra própria. No caso dos poliedros, pode haver mais do que uma face com sombra própria. A divisão entre as faces com sombra prórpia e sem sombra própria é designada por linha separatriz luz/sombra. A linha separatriz luz/sombra limita tanto a sombra própria como a sombra projectada. Para determinar a linha separatriz luz/sombra é necessário recorrer ao plano tangente luz/sombra, através do ponto de intersecção entre a recta de intersecção dos planos tangentes luz/sombra e o plano da base.

19 x xz xy Para determinar a linha separatriz luz/sombra é necessário recorrer a planos tangentes luz/sombra, através do ponto de intersecção entre a recta de intersecção dos dois planos tangentes luz/sombra e o plano da base. λ1λ1 λ2λ2 l i t h λ1 t h λ2 I V VsVs x xz xy L A B C D D A B C BsBs AsAs DsDs AvAv i λ1λ1 λ2λ2 DvDv t h λ1 t h λ2 fλ1fλ1 fλ2fλ2 fλ1fλ1 fλ2fλ2 Para os casos de pirâmides ou cones, os planos tangentes luz/sombra contêm o vértice do sólido. Para os casos de foco luminoso para prismas ou cilindros, a recta de intersecção será paralela às arestas laterais do sólido, e passa pelo foco luminoso. I

20 Para os casos de direcção luminosa em prismas ou cilindros, a recta de intersecção será entre o plano luz/sombra e o plano da base. x xz xy B C D D A B A C λ1λ1 λ2λ2 fλ1fλ1 fλ2fλ2 BsBs AsAs DsDs h λ i λ fλfλ t h λ1 t h λ2 l I AvAv

21 MÉTODO PARA A DETERMINAÇÃO DA LINHA SEPARATRIZ LUZ/SOMBRA – caso de pirâmides com a base em planos horizontais, frontais ou de perfil 1. Conduzir um raio luminoso l pelo vértice da pirâmide. 2. Determinar o ponto de intersecção I do raio luminoso l com o plano de base. 3. Conduzir pelo ponto de intersecção I, as rectas tangentes à base da pirâmide. 4. Obter as arestas laterais da linha separatriz luz/sombra.

22 SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA PROJECTADA DE POLIEDROS COM BASES HORIZONTAIS OU FRONTAIS Pretende-se a sombra própria e sombra projectada da pirâmide quadrada nos planos de projecção, considerando um foco luminoso. x L2L2 L1L1 A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 C2C2 C1C1 D2D2 D1D1 V2V2 V1V1 Conduzir um raio luminoso l pelo vértice da pirâmide. l1l1 l2l2 Determinar o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano de base. I1I1 I2I2 Conduzir pelo ponto de intersecção I, as rectas tangentes à base da pirâmide. hλ1hλ1 hλ2hλ2 As arestas laterais [BV] e [DV] são duas arestas da linha separatriz luz/sombra. V s2 V v1 B s1 D s1

23 MÉTODO PARA A DETERMINAÇÃO DA LINHA SEPARATRIZ LUZ/SOMBRA – caso de prismas com as bases em planos horizontais, frontais ou de perfil 1. Conduzir uma recta (recta r) paralela às arestas laterais e um raio luminoso (raio l), por um ponto qualquer exterior (ponto P). 2. Determinar a recta de intersecção (recta i), entre o plano (plano λ) definido pelas rectas r e l, e o plano da base de referência do prisma. 3. Conduzir, as rectas tangentes (rectas t e t) à base de referência do prisma. 4. Obter as arestas laterais da linha separatriz luz/sombra.

24 Pretende-se a sombra própria e sombra projectada do prisma quadrangular oblíquo nos planos de projecção, considerando a direcção luminosa convencional. O prisma está situado no 1.º diedro e tem as bases contidas em planos horizontais. x (f ν ) (f ν1 ) A2A2 A1A1 A2A2 A1A1 D2D2 D1D1 D2D2 D1D1 B2B2 B1B1 B2B2 B1B1 C2C2 C1C1 C2C2 C1C1 Conduzir uma recta (recta r) paralela às arestas laterais e um raio luminoso (raio l), por um ponto qualquer exterior (ponto P). P2P2 P1P1 r2r2 r1r1 l1l1 l2l2 Determinar a recta de intersecção (recta i), entre o plano (plano λ) definido pelas rectas r e l, e o plano da base de referência do prisma. R2R2 R1R1 S2S2 S1S1 i1i1 i 2 Conduzir, as rectas tangentes (rectas t e t) à base de referência do prisma. t1t1 t 2 t1t1 As arestas laterais [BB] e [DD] são duas arestas da linha separatriz luz/sombra. A s1 B s1 D s2 B s2 C s2 D s2 Os pontos de quebra podem ser obtidos através das sombras reais, ou com linhas paralelas às arestas laterais [BB] e [AD], que são respectivamente arestas frontal e horizontal.

25 MÉTODO PARA A DETERMINAÇÃO DA LINHA SEPARATRIZ LUZ/SOMBRA – caso de cones com a base em planos horizontais, frontais ou de perfil 1. Conduzir um raio luminoso l pelo vértice do cone. 2. Determinar o ponto de intersecção I do raio luminoso l com o plano de base. 3. Conduzir pelo ponto de intersecção I, as rectas tangentes à base do cone. 4. Obter as geratrizes da linha separatriz luz/sombra.

26 SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA PROJECTADA DE CONES COM BASES HORIZONTAIS OU FRONTAIS Pretende-se a sombra própria e sombra projectada nos planos de projecção do cone de revolução, situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano Frontal de Projecção, considerando um foco luminoso. Conduzir um raio luminoso l pelo vértice do cone. Determinar o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano de base. Conduzir pelo ponto de intersecção I, as rectas tangentes à base do cone. As rectas f λ1 e f λ2 são tangentes à base do cone nos pontos A e B. A linha separatriz luz/sombra contém os segmentos [AV] da geratriz g, e [BV] da geratriz g. x L2L2 L1L1 O2O2 O1O1 V1V1 V 2 l1l1 l2l2 I1I1 I2I2 A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 g1g1 g2g2 g1g1 g2g2 fλ1fλ1 fλ2fλ2 V s1 A s2 B s2 V V2

27 MÉTODO PARA A DETERMINAÇÃO DA LINHA SEPARATRIZ LUZ/SOMBRA – caso de cilindros com as bases em planos horizontais, frontais ou de perfil 1. Conduzir uma recta (recta r) paralela às geratrizes do cilindro e um raio luminoso (raio l), por um ponto qualquer exterior (ponto P). 2. Determinar a recta de intersecção (recta i), entre o plano (plano λ) definido pelas rectas r e l, e o plano da base de referência do cilindro. 3. Conduzir, as rectas tangentes (rectas t e t) à base de referência do cilindro. 4. Obter as geratrizes da linha separatriz luz/sombra.

28 SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA PROJECTADA DE CILINDROS COM BASES HORIZONTAIS OU FRONTAIS Pretende-se a sombra própria e sombra projectada nos planos de projecção do cilindro de revolução, situado no 1.º diedro, com as base contidas em planos frontais, considerando direcção convencional da luz. Conduzir uma recta (recta r) paralela às geratrizes do cilindro e um raio luminoso (raio l), por um ponto qualquer exterior (ponto P). Determinar a recta de intersecção (recta i), entre o plano (plano λ) definido pelas rectas r e l, e o plano da base de referência do cilindro. Conduzir, as rectas tangentes (rectas t e t) à base de referência do cilindro. As rectas t e t são tangentes à base do cilindro nos pontos A e B. A linha separatriz luz/sombra contém os segmentos [AA] da geratriz g, e [BB] da geratriz g. Averiguar se a sombra tem pontos de quebra, através do método do plano luz/sombra passante. Se a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano que contém a base, é exterior à linha separatriz luz/sombra, não há pontos de quebra. x O2O2 (h φ ) (h φ1 ) P2P2 P1P1 r1r1 (r 2 ) l1l1 l2l2 M 2 M1M1 N2N2 N1N1 i 2 i 1 t2t2 t2t2 A2A2 A1A1 A 2 A1A1 g 2 g1g1 B2B2 B1B1 B 2 B1B1 g 2 g1g1 t 1 I2I2 I1I1 l1l1 l2l2 i 1 i2i2 I2I2 I1I1 i2i2 A s2 B s2 O1O1 O s2 A s1 B s1 C2C2 C1C1 C s1 D2D2 D1D1 D s1 E2E2 E1E1 E s1


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