GEOMETRIA DESCRITIVA A

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano Sombras - Resumo © antónio de campos, 2010

2 GENERALIDADES A sombra na Geometria Descritiva é uniforme, ao contrário da realidade. Os componentes básicos da sombra (de um ponto neste caso) são os seguintes: L – fonte luminosa; l – raio luminoso; A – objecto (ponto) exposto à situação luminosa; As – sombra do ponto A no plano α (ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano α). L l A α As

3 FONTE LUMINOSA A fonte luminosa pode situar-se a uma distância finita (considera-se um foco luminoso) ou a uma distância infinita (considera-se uma direcção luminosa). L l l l’ l’ α α foco luminoso direcção luminosa

4 DIRECÇÃO LUMINOSA CONVENCIONAL
A direcção luminosa convencional (ou direcção convencional da luz) é considerada a direcção luminosa ideal para as pessoas dextras escreverem. A luz provém de cima, da esquerda e de trás, com um ângulo de amplitude de cerca de 35º 26’. É convencionalmente representada por φº. As projecções da recta l (raio luminoso da direcção convencional da luz) fazem 45º com o eixo x. x xz xy fα ≡ e2 ≡ fαr l2 l2 lr l A2 Ar A2 A1 A 45º φº 45º φº φº x (e1) 45º ≡ hαr 45º A1 l1 l1 ≡ hα

5 SOMBRA PROJECTADA, SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA ESPACIAL
A sombra projectada (ou produzida) é a sombra que um objecto produz numa superfície. A sombra própria é a parte do objecto que se encontra sombreada. A sombra espacial é a porção do espaço compreendida entre a sombra própria e a sombra projectada. L l A l’ l’’ C B Cs α As Bs

6 SOMBRA REAL E SOMBRA VIRTUAL
A sombra real é a sombra que um objecto produz na superfície do primeiro plano de projecção que intersecta o raio da sombra (o raio luminoso depois de passar pelo objecto). Só há uma sombra real por objecto. Só se contempla casos no 1.º diedro. A sombra virtual é a sombra que um objecto produz na superfície de outros planos que intersecta o raio da sombra, depois de ter intersectado o primeiro plano de projecção. Pode haver mais de que uma sombra virtual. Para simplificar as anotações, são omitidas as projecções da sombra real e da sombra virtual no eixo x. x xz xy l2 Av1 L2 L1 A2 A1 Av As2 As A l L x l1

7 SOMBRA DE UM SEGMENTO DE RECTA – Noção de Ponto de Quebra
Pretende-se a sombra real do segmento de recta [AB] nos planos de projecção. Em alternativa à solução indicada em baixo, seria possível localizar o ponto de quebra (ponto Q) através da intersecção do segmento de recta da sombra virtual do ponto A (Av2) e da sombra real do ponto B (Bs2) com o eixo x. l’’2 l2 x xz xy B2 B1 l’’ l’2 l B2 B Bs2 Bs A2 A1 l’ A2 Bv1 Bv B1 A x Qs As1 Q l’’1 As A1 l’1 l1

8 SOMBRA DE UM SEGMENTO DE RECTA PARALELO A UM DOS PLANOS DE PROJECÇÃO
Pretende-se a sombra real do segmento de recta horizontal [AB]. x xz xy l2 l l’’2 l’2 l’’ B2 B2 B1 A2 A1 l’ B A2 A Bs x As1 Bs1 As B1 A1 l’1 l’’1 l1

9 SOMBRA DE UMA RECTA OBLÍQUA NOS PLANOS DE PROJECÇÃO
Pretende-se a sombra projectada da recta r nos planos de projecção, através da sombra da parte da recta r que se localiza no 1.º diedro, o segmento de recta [FH]. l2 l r2 x xz xy F2 F1 ≡ Fs2 l’2 A2 A1 l’ F ≡ Fs As2 rs2 A H2 H1 As x Qs r Q rs1 H ≡ Hs r1 l’1 ≡ Hs1 l1

10 SOMBRA DE UMA RECTA PARALELA NOS PLANOS DE PROJECÇÃO
Pretende-se a sombra projectada da recta frontal f nos planos de projecção, através da sombra da parte da recta f que se localiza no 1.º diedro, a semi-recta HA. l2 l f2 x xz xy l’2 l’ A2 A1 f2 As2 A fs2 f H2 H1 As x Qs Q fs1 H ≡ Hs f1 ≡ Hs1 l’1 f1 l1

11 ENTENDIMENTO ESPACIAL DA SOMBRA DE RECTAS
Para determinar a sombra de uma recta nos planos de projecção, conduz-se pela recta, um plano luz/sombra (ou plano luminoso), definido pela recta e pela direcção luminosa (quando se trata de uma fonte luminosa situada a uma distância infinita), ou definido pela recta e pelo foco luminosos (quando se trata de uma fonte luminosa situada a uma distância finita). l x xz xy x xz xy fλ fλ λ λ l’’’ l’ l’’ l’ L F ≡ Fs l’’ F ≡ Fs A A l’’’ As As B B r r Q Q C C Bs Bs hλ hλ Cs Cs H ≡ Hs H ≡ Hs

12 MÉTODO DAS SOMBRAS VIRTUAIS
Para determinar a sombra projectada de uma figura plana nos planos de projecção, pode-se recorrer à determinação da sombra real ou sombra virtual dos pontos (vértices) da figura plana. x xz xy l’ θ l’’ A B l’’’ l As Av Bs C Bv Cs

13 MÉTODO PLANO LUZ/SOMBRA PASSANTE
Outra forma de determinar a sombra projectada de uma figura plana nos planos de projecção, é através de um plano luz-sombra passante que localiza os pontos que a figura plana projecta sobre o eixo x, ou seja os pontos de quebra da sombra. Direcção luminosa no lado esquerdo, e foco luminoso no lado direito. x xz xy x xz xy l Bs A As A As Bs B B λ λ L Qs Q Qs Q P ν P ν Ps i Ps i C C Cs Cs

14 MÉTODO PARA IDENTIFICAÇÃO DA SOMBRA PRÓPRIA NUMA FIGURA PLANA
Apesar de na maioria das vezes ser aparente a face da figura plana que está sombreada, existe um método para determinar a sombra própria numa figura plana. Considerar um movimento rotativo qualquer e analisar a partir do mesmo vértice, a sequência na figura e na figura-sombra. Se as duas sequências apresentam a mesma ordem, a face visível está iluminada. x xz xy l’ θ l’’ A B l’’’ l As Av Bs C Bv Cs

15 NORMAS PARA OS TRACEJADOS DAS SOMBRAS
Apesar do desenho digital possibilitar um sombreado regular, existem normas consensuais para a indicação de sombras em desenho a papel, utilizando um tracejado com as seguintes situações: Sombra própria - tracejado paralelo ao eixo x, em ambas as projecções; Sombra projectada nos planos de projecção, via direcção luminosa – tracejado perpendicular à direcção luminosa, em ambas as projecções; Sombra projectada nos planos de projecção, via foco luminoso – tracejado a 45º (a.d.) em ambas as projecções, ou seja perpendicular às projecções da direcção convencional da luz.

16 FIGURAS PLANAS CONTIDAS EM PLANOS NÃO PARALELOS AOS PLANOS DE PROJECÇÃO
Pretende-se a sombra projectada do triângulo [ABC] nos planos de projecção, situado no 1.º diedro e contido num plano oblíquo α, considerando um foco luminoso L. L2 L1 fα ≡ hα B2 B1 A2 A1 C2 C1 Av1 As2 Bs2 Bv1 x Qs Q’s Cs1 Determinar as sombras reais dos três vértices do trângulo. Como as sombras reais existem em planos diferentes, há pontos de quebra, que serão obtidos via o método das sombras virtuais (como opção).

17 Círculos Contidos em Planos Paralelos a um dos Planos de Projecção
Determinar a parte da sombra que se situa no SPHA, que será um segmento de círculo. Determinar a parte da sombra que se situa no SPFS, que será uma elipse; através de um quadrado que inscreve o círculo na projecção horizontal, transpondo o círculo para o paralelograma na projecção frontal para desenhar a sombra. Círculos Contidos em Planos Paralelos a um dos Planos de Projecção No caso dos círculos, primeiro é averiguar se a sombra tem pontos de quebra, através do método do plano luz/sombra passante. Se a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano que contém o círculo, é exterior ao círculo, não há pontos de quebra. Pretende-se a sombra projectada do círculo nos planos de projecção, situado no 1.º diedro e contido num plano horizontal ν, considerando direcção convencional da luz. l2 (fν ) ≡ i2 I2 I1 C2 C1 ≡ H2 H1 O2 O1 ≡ D2 D1 E2 E1 ≡ F2 F1 ≡ K2 K1 B2 B1 ≡ L2 L1 ≡ M2 M1 ≡ J2 J1 A2 A1 ≡ G2 G1 Ds2 Ks2 Js2 Es2 Cs2 Ov1 Os2 x Ps Hv2 Qs Fs2 Mv2 Gv2 Lv2 i1 P1 Q1 l1

18 LINHA SEPARATRIZ LUZ/SOMBRA
No caso de figuras planas, apenas uma das faces pode ter sombra própria. No caso dos poliedros, pode haver mais do que uma face com sombra própria. A divisão entre as faces com sombra prórpia e sem sombra própria é designada por linha separatriz luz/sombra. A linha separatriz luz/sombra limita tanto a sombra própria como a sombra projectada. Para determinar a linha separatriz luz/sombra é necessário recorrer ao plano tangente luz/sombra, através do ponto de intersecção entre a recta de intersecção dos planos tangentes luz/sombra e o plano da base.

19 Para determinar a linha separatriz luz/sombra é necessário recorrer a planos tangentes luz/sombra, através do ponto de intersecção entre a recta de intersecção dos dois planos tangentes luz/sombra e o plano da base. x xz xy x xz xy fλ2 L fλ2 fλ1 λ1 λ2 λ2 fλ1 D’ i l ≡ i A’ A’s D’s V λ1 Vs D’v C’ A’v B’ I D A t’ ≡ hλ2 t’ ≡ hλ2 C B’s B t ≡ hλ1 I t ≡ hλ1 Para os casos de foco luminoso para prismas ou cilindros, a recta de intersecção será paralela às arestas laterais do sólido, e passa pelo foco luminoso. Para os casos de pirâmides ou cones, os planos tangentes luz/sombra contêm o vértice do sólido.

20 Para os casos de direcção luminosa em prismas ou cilindros, a recta de intersecção será entre o plano luz/sombra e o plano da base. x xz xy fλ2 λ2 fλ1 fλ D’ λ1 A’ λ A’s l D’s C’ A’v B’ D t’ ≡ hλ2 A B’s C I B t ≡ hλ1 hλ ≡ i

21 MÉTODO PARA A DETERMINAÇÃO DA LINHA SEPARATRIZ LUZ/SOMBRA – caso de pirâmides com a base em planos horizontais, frontais ou de perfil 1. Conduzir um raio luminoso l pelo vértice da pirâmide. 2. Determinar o ponto de intersecção I do raio luminoso l com o plano de base. 3. Conduzir pelo ponto de intersecção I, as rectas tangentes à base da pirâmide. 4. Obter as arestas laterais da linha separatriz luz/sombra.

22 SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA PROJECTADA DE POLIEDROS COM BASES HORIZONTAIS OU FRONTAIS
Pretende-se a sombra própria e sombra projectada da pirâmide quadrada nos planos de projecção, considerando um foco luminoso. l2 L2 L1 V2 V1 I1 I2 ≡ Vv1 Vs2 A2 A1 D2 D1 B2 B1 C2 C1 x Ds1 ≡ hλ2 Conduzir um raio luminoso l pelo vértice da pirâmide. Determinar o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano de base. ≡ Bs1 Conduzir pelo ponto de intersecção I, as rectas tangentes à base da pirâmide. As arestas laterais [BV] e [DV] são duas arestas da linha separatriz luz/sombra. hλ1 l1

23 MÉTODO PARA A DETERMINAÇÃO DA LINHA SEPARATRIZ LUZ/SOMBRA – caso de prismas com as bases em planos horizontais, frontais ou de perfil 1. Conduzir uma recta (recta r) paralela às arestas laterais e um raio luminoso (raio l), por um ponto qualquer exterior (ponto P). 2. Determinar a recta de intersecção (recta i), entre o plano (plano λ) definido pelas rectas r e l, e o plano da base de referência do prisma. 3. Conduzir, as rectas tangentes (rectas t e t’) à base de referência do prisma. 4. Obter as arestas laterais da linha separatriz luz/sombra.

24 Pretende-se a sombra própria e sombra projectada do prisma quadrangular oblíquo nos planos de projecção, considerando a direcção luminosa convencional. O prisma está situado no 1.º diedro e tem as bases contidas em planos horizontais. Conduzir uma recta (recta r) paralela às arestas laterais e um raio luminoso (raio l), por um ponto qualquer exterior (ponto P). (fν1) A’2 A’1 D’2 D’1 B’2 B’1 C’2 C’1 D’s2 C’s2 r2 Determinar a recta de intersecção (recta i), entre o plano (plano λ) definido pelas rectas r e l, e o plano da base de referência do prisma. l2 P2 P1 B’s2 (fν) ≡ i2 ≡ t2 ≡ t’2 R2 R1 S2 S1 A2 A1 D2 D1 B2 B1 C2 C1 Ds2 Conduzir, as rectas tangentes (rectas t e t’) à base de referência do prisma. x As1 Bs1 As arestas laterais [BB’] e [DD’] são duas arestas da linha separatriz luz/sombra. r1 i1 t’1 l1 Os pontos de quebra podem ser obtidos através das sombras reais, ou com linhas paralelas às arestas laterais [BB’] e [AD], que são respectivamente arestas frontal e horizontal. t1

25 MÉTODO PARA A DETERMINAÇÃO DA LINHA SEPARATRIZ LUZ/SOMBRA – caso de cones com a base em planos horizontais, frontais ou de perfil 1. Conduzir um raio luminoso l pelo vértice do cone. 2. Determinar o ponto de intersecção I do raio luminoso l com o plano de base. 3. Conduzir pelo ponto de intersecção I, as rectas tangentes à base do cone. 4. Obter as geratrizes da linha separatriz luz/sombra.

26 SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA PROJECTADA DE CONES COM BASES HORIZONTAIS OU FRONTAIS
Pretende-se a sombra própria e sombra projectada nos planos de projecção do cone de revolução, situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano Frontal de Projecção, considerando um foco luminoso. x L2 L1 O2 O1 V1 ≡ V2 l1 l2 I1 I2 A2 A1 B2 B1 g1 g2 g’1 g’2 fλ1 fλ2 Vs1 ≡ As2 ≡ Bs2 ≡ VV2 Conduzir um raio luminoso l pelo vértice do cone. Determinar o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano de base. Conduzir pelo ponto de intersecção I, as rectas tangentes à base do cone. As rectas fλ1 e fλ2 são tangentes à base do cone nos pontos A e B. A linha separatriz luz/sombra contém os segmentos [AV] da geratriz g, e [BV] da geratriz g’.

27 MÉTODO PARA A DETERMINAÇÃO DA LINHA SEPARATRIZ LUZ/SOMBRA – caso de cilindros com as bases em planos horizontais, frontais ou de perfil 1. Conduzir uma recta (recta r) paralela às geratrizes do cilindro e um raio luminoso (raio l), por um ponto qualquer exterior (ponto P). 2. Determinar a recta de intersecção (recta i), entre o plano (plano λ) definido pelas rectas r e l, e o plano da base de referência do cilindro. 3. Conduzir, as rectas tangentes (rectas t e t’) à base de referência do cilindro. 4. Obter as geratrizes da linha separatriz luz/sombra.

28 Averiguar se a sombra tem pontos de quebra, através do método do plano luz/sombra passante. Se a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano que contém a base, é exterior à linha separatriz luz/sombra, não há pontos de quebra. SOMBRA PRÓPRIA E SOMBRA PROJECTADA DE CILINDROS COM BASES HORIZONTAIS OU FRONTAIS Pretende-se a sombra própria e sombra projectada nos planos de projecção do cilindro de revolução, situado no 1.º diedro, com as base contidas em planos frontais, considerando direcção convencional da luz. x O2 (hφ) (hφ1) P2 P1 r1 ≡ (r2) l1 l2 ≡ M2 M1 N2 N1 ≡ i2 ≡ i1 t2 t’2 A2 A1 ≡ A’2 A’1 ≡ g2 g1 B2 B1 ≡ B’2 B’1 ≡ g’2 g’1 ≡ t1 ≡ t’1 I2 I1 l’1 l’2 ≡ i’1 i’2 I’2 I’1 ≡ i’’1 i’’2 As2 Bs2 O1 Os2 A’s1 B’s1 C2 C1 Cs1 D2 D1 Ds1 E2 E1 Es1 Conduzir uma recta (recta r) paralela às geratrizes do cilindro e um raio luminoso (raio l), por um ponto qualquer exterior (ponto P). Determinar a recta de intersecção (recta i), entre o plano (plano λ) definido pelas rectas r e l, e o plano da base de referência do cilindro. Conduzir, as rectas tangentes (rectas t e t’) à base de referência do cilindro. As rectas t e t’ são tangentes à base do cilindro nos pontos A e B. A linha separatriz luz/sombra contém os segmentos [AA’] da geratriz g, e [BB’] da geratriz g’.