COMO MODELAR MISTURAS

Nos exemplos estudados inicialmente avaliamos a influencia de dois fatores (temperatura e concentração) Se os valores dos níveis forem dobrados, a resposta avaliada será afetada ? Ex: rendimento, viscosidade, densidade ótica,....

Caso o sistema for uma mistura a situação é diferente. Por exemplo: Se dobrarmos as quantidades de todos os ingredientes da mistura de um bolo, teremos um bolo duas vezes maior. Com a mesma textura, sabor, cor....

As propriedades de uma mistura são determinadas pelas proporções de seus ingredientes. A equação retira um grau de liberdade das proporções Para especificar a composição da mistura, precisamos fixar as proporções de q-1 componentes.

Como as propriedades da mistura devem obedecer a equação as metodologias apresentadas devem ser modificadas para adaptar-se aos problemas específicos das misturas. Os métodos tem aplicação na indústria, ciência, engenharia,....

Misturas Binária x1 + x2 = 1 Todas as misturas correspondem a reta x2 = 1 – x1 Tornando a reta o eixo das abscissas, podemos construir um gráfico para mostrar diversas propriedades da mistura.

Ternária x1 + x2 + x3 = 1 Para sistemas com três fatores podemos localizar pontos experimentais dentro de um cubo. As possíveis misturas estarão localizadas sobre a superfície de um triângulo equilátero inscrito no cubo Os vértices do triângulo correspondem aos componentes puros

Misturas de dois componentes A investigação das propriedades de uma mistura segue os mesmos passos que percorremos para sistemas com variáveis independentes. 1 – postulamos um modelo 2 - Fazemos um planejamento experimental, especificando as composições das misturas a serem estudadas 3 – O modelo é ajustado aos dados experimentais e comparado com modelos alternativos

O modelo mais simples é o modelo aditivo. Como a soma dos componentes é igual a 1, podemos escrever a equação como: E assim temos....

Com este artifício o modelo passa a ter apenas dois coeficientes. Assim quando a mistura tem somente um componente (x 1 =1), a resposta observada (Y),é a própria resposta do componente puro

Neste modelo aditivo a resposta é a relativa aos componentes puros. Caso o modelo for válido, podemos prever as propriedades de uma mistura qualquer de x1 e x2. Para aumentar a precisão podemos fazer repetições dos experimentos com os componentes puros.

Embora os componentes puros determinem completamente o modelo linear, precisamos realizar experimentos com misturas binárias para verificar se o modelo é adequado. A ampliação mais simples do modelo linear é o modelo quadrático

Com as modificações apropriadas chegamos a: A equação possui somente um coeficiente a mais que o modelo linear. Para obter um planejamento experimental com o número mínimo de ensaios precisamos acrescentar mais um experimento.... Uma mistura binária de composição qualquer.

A estatística e o bom senso indicam que a mistura mais adequada é a que contém os dois componentes em partes iguais. Quando o termo da interação (b 12 * ) é positivo os dois componentes apresentam um efeito sinérgico, caso contrário dizemos que a interação entre os dois fatores é antagônica. P.306

A forma de obtenção do coeficiente b 12 * é mostrada nas p 307 e Caso for necessário, podemos construir modelos mais complexos... Para isso precisamos realizar mais experimentos...

Aplicação Medidas de viscosidade dos vidros fundidos puros e também de uma mistura contendo os dois em partes iguais. Determinar os valores b1, b2 e b12 do modelo quadrático da mistura e seus erros padrão... A variância é constante para estas repetições.... η/10 5 kg m -1 s -1 Vidro A1,411,47 Vidro B1,731,68 (A + B) (50%,50%) 1,381,341,40

Ir até Experimental Design (DOE) Selecionar : Misture designs....e clicar OK

Para este experimento temos 2 fatores (vidro a e vidro b) Escolhido o número de fatores, clique OK...

Na aba Quick selecine “Standard order” e na aba “Add to design” no campo “Number of genuine...” informe 1 ou 2... e clique “Summary”.

O desenho gerado tem 6 experimentos...pois foi especificada uma repetição...

Copie o planejamento gerado para a planilha e adicione mais um ponto central...

Na planilha digitamos os resultados experimentais...

Inseridos os resultados....podemos indicar as variáveis dependentes e independentes e iniciar a análise...

Na janela seleciona-se a variável dependente e as variáveis independentes (fatores).... Clique OK...OK novamente...

A janela apresenta um resumo do planejamento e as possibilidades de análise...

Como já vamos ajustar os dados a um modelo quadrático... na aba model selecionar “Quadratic”.

Na aba Quick clique em “ Summary: Estimates, pseudo...”

A análise mostra o coeficiente de determinação R 2 =0,9657 Modelo ajustado Y= 1,44 x 1 + 1,70 x 2 - 0,80 x 1 x 2

Misturas de 3 componentes Modelo linear Com a restrição : x1 + x2+ x3 =1 Substituindo o termo bo por bo(x1+x2+x3), obtemos:

Os valores obtidos para os componentes puros são suficientes para descrever o modelo. P.310 Podemos determinar os coeficientes do modelo linear sem precisar fazer nenhuma mistura. Podemos obter estimativas mais precisas utilizando respostas médias de ensaios repetidos.

Modelo quadrático No caso do modelo quadrático precisamos de pelo menos seis ensaios. P. 310 Os três ensaios que faltam podem ser realizados com as três possíveis misturas binárias (1:1), contendo os componentes em partes iguais.

O planejamento experimental representado pelos seis pontos (componentes puros = vértices do triangulo e as misturas binárias) é comumente chamado de Planejamento em rede simplex (simplex lattice design). A inclusão de pontos experimentais no interior do triângulo permite o ajuste de modelos de ordem superior.

Aplicação No estudo de membranas para fabricação de eletrodos a sua sensibilidade é um fator importante. Pesquisadores utilizaram um planejamento em rede simplex e obtiveram os sinais mostrados na tabela onde x1, x2 e x3 são componentes da mistura. Determinar os valores b1, b2, b3, b12, b13 e b23 para ajuste do modelo quadrático e seus erros padrão... X1X2X3 sinal 11003,23, ,50, ,3 4½½01,91,22,0 5½0½3,94,44,1 60½½0,3 0,2

Ir até Experimental Design (DOE) Selecionar : Misture designs....e clicar OK Para este experimento temos 3 fatores (x1, x2 e x3) Escolhido o número de fatores, clique OK...

Na aba Quick... escolher “standard order” Na aba “add to design” informar 1 ou 2 replicates...e clicar em “Summary”...

Como são 15 ensaios repetir mais uma vez os pontos intermediários...

Na planilha digitamos os resultados experimentais

Na aba “Analyse design” selecionamos as variaveis dep. e independ... Clique OK(2X)

A janela apresenta um resumo do planejamento e as possibilidades de análise

Escolher o modelo quadrático...

A análise mostra o coeficiente de determinação R 2 =0,9845 Modelo ajustado e erro standard (p.314) Y = 3,10x 1 + 0,45x 2 + 0,35x 3 -0,30x 1 x 2 + 9,63x 1 x 3 - 0,53x 2 x 3

Na aba “Prediction....” quando clicamos em “Contour plot...” temos...

Coeficientes + Anova