IMPORTÂNCIA DA GEOMETRIA A geometria é de extrema importância no cotidiano das pessoas, pois desenvolve o raciocínio visual e, sem essa habilidade, elas dificilmente conseguiriam resolver as diferentes situações de vida que forem geometrizadas resolvendo ainda questões de outras áreas de conhecimento humano. A Geometria torna a leitura interpretativa do mundo mais completa, a comunicação das idéias se ampliam e a visão de Matemática torna-se fácil de se entender. NESSA PONTE, PODEMOS VER UMA CONTRIBUIÇÃO DA GEOMETRIA PARA A SOCIEDADE ATUAL.

O QUE É PARALELISMO? Em geometria, Paralelismo é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) estão na mesma direção. Assim, duas retas são paralelas (símbolo: //) se, e somente se, são coincidentes (iguais) ou são coplanares e não têm nenhum ponto em comum, logo, dadas duas retas coplanares distintas e uma transversal, se existem pares de ângulos congruentes (ou ângulos correspondentes), então essas duas retas são paralelas.

ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL Consideremos as retas r e s traçadas em um mesmo plano, sem pontos comuns, essas retas são consideradas paralelas; uma outra reta t, que corta as paralelas considerada transversal ou secante, que é o nome dado à reta que cruza as retas paralelas. Essas retas determinam oito ângulos que possuem propriedades específicas em congruência e suplemento.

TRANSVERSAL TRANSVERSAL PERPENDICULAR ÀS RETAS TRANSVERSAL NÃO-PERPENDICULAR ÀS RETAS Quando a transversal for perpendicular às duas semi-retas paralelas retas todos os ângulos serão retos (de 90°). Quando a transversal não for perpendicular às retas paralelas, haverá quatro ângulos agudos iguais e quatro ângulos obtusos iguais.

Ângulos alternos internos: c e e d e f. Ângulos alternos externos: b e h    a e g. Ângulos colaterais internos: c e f    d e e. Ângulos colaterais externos: b e g    a e h. Ângulos correspondentes: d e f    a e e    c e g    d e h.

TIPOS DE ÂNGULOS POSIÇÃO Ângulos colaterais internos: estão do mesmo lado da transversal, entre as paralelas, a soma dos ângulos é 180º(suplementares). Ângulos colaterais externos: estão do mesmo lado da transversal, fora das retas paralelas, a soma dos ângulos é 180º (suplementares). Ângulos alternos internos: estão em lados diferentes da transversal, entre as paralelas e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais (congruentes). Ângulos alternos externos: estão em lados diferentes da transversal, fora das paralelas e não apresentam o mesmo vértice (congruentes). Ângulos correspondentes: apresentam a mesma medida, com demarcação estabelecida a um mesmo lado da transversal (congruentes).

TEOREMA DAS RETAS PARALELAS " Se duas retas coplanares e distintas r e s, e uma transversal t, determinam um par de ângulos alternos congruentes, então r é paralela a s.”

SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO Soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º

Segmentos proporcionais e os triângulos semelhantes na Antiguidade

HISTÓRIA Tales de Mileto, matemático e filósofo grego do século VI a.C., certa vez, apresentou-se ao Rei do Egito, oferecendo-se para calcular a altura da pirâmide de Quéops, sem escalar o monumento.

O RACIOCÍNIO DE TALES NAS PIRÂMIDES Nas proximidades da pirâmide, fincou uma estaca de madeira no solo. estaca

RACIOCÍNIO MATEMÁTICO DE TALES NA PIRÂMIDE Altura da pirâmide (h) Altura da estaca (2 m) 115 m base 250 m sombra 5 m sombra

RACIOCÍNIO MATEMÁTICO DE TALES NA PIRÂMIDE Altura da pirâmide (h) Altura da estaca (2 m) 115 m base 250 m sombra 5 m sombra

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são semelhantes, se e somente se: * Os três ângulos internos são ordenadamente congruentes. * Os lados homólogos (mesma posição) são proporcionais. A B C A’ B’ C’ a a’ b’ b c c’ k = razão de semelhança

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS TEOREMA FUNDAMENTAL A B C Se uma reta é paralela a um dos lados de um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo determinado por ela é semelhante ao primeiro: D E

CASOS DE CONGRUÊNCIA 1- LAL dois lados iguais e o ângulo entre eles congruentes. 2- ALA dois ângulos iguais e o lado entre eles congruentes. 3- LLL lados homólogos iguais. * Os casos AAL e ALL só são válidos se o triângulo for retângulo.

CONSEQUÊNCIA DA SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS BASE MÉDIA x A B C M N b

TEOREMA DE TALES Dados: um feixe de retas paralelas e retas transversais, a razão entre as medidas dos segmentos quaisquer de uma das transversais é igual à razão entre as medidas dos segmentos correspondentes de outra. A B A’ B’ As medidas dos segmentos correspondentes nas transversais são diretamente proporcionais. C D C’ D’

TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes: A B C  c b y x D

Demonstração: r//s s r   c b  y x E Ângulos correspondentes A Ângulos alternos internos 

Pelo Teorema de Tales temos: B C  c b D x y r r//s E s Logo o triângulo ACE é isósceles  AC = AE = b b Pelo Teorema de Tales temos:

TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA C  D

Dica para a demonstração: B C  D

...pelo Teorema de Tales: A B C  D c b x y

O TRIÂNGULO RETÂNGULO

RELAÇÕES MÉTRICAS E TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Significado: Tri três gono ângulos Trigonometria metria medição É o ramo da matemática que estuda a relação entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo retângulo.

Aplicação: É empregada na navegação, na aviação, na topografia, etc. É indispensável à engenharia e à física.

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos. Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medida a Hipotenusa                           A = Ângulo reto   A=90° b Cateto B = Ângulo agudo B<90° c C = Ângulo agudo C<90°

HIPOTENUSA E CATETOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO Catetos: são os dois lados que formam o ângulo reto. Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto. hipotenusa cateto cateto cateto cateto hipotenusa

RELAÇÕES OU RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO tg x = Cat.Oposto Cat. Adjacente sen x = Cat.Oposto Hipotenusa cos x = Cateto Adjacente Hipotenusa

(ângulos notáveis 30º, 45º e 60º) Tabela de razões trigonométricas: (ângulos notáveis 30º, 45º e 60º) 30º 45º 60º Sen Cos Tg 1 3

OUTROS SEGMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO a: é a hipotenusa. b e c: são os catetos. h: é altura do triângulo em relação à hipotenusa. m: é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa. n: é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa. b c h n m a

A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos, ABH e ACH.

Os triângulos ABC, ABH e ACH são semelhantes. Veja:  +  = 90º   h   C B H

Comparando (I) e (II), tem-se:  +  = 90º (II)  +  + 90º = 180º  +  = 90º     Comparando (I) e (II), tem-se:  +  =  +    = . Portanto,  = .

Comparando (I) e (III), tem-se:  +  = 90º (III)  +  + 90º = 180º  +  = 90º     Comparando (I) e (III), tem-se:  +  =  +    = . Portanto,  = .

CONCLUSÃO A Como  =  e  = , os triângulos ABC, ABH e ACH são semelhantes pelo caso (AA).   h   B C H A B C H  

1ª RELAÇÃO MÉTRICA h c n A H B h b m A H C m b h c h n

2ª RELAÇÃO MÉTRICA b c A B C a h b m A H C a b c b m h

3ª RELAÇÃO MÉTRICA h c n A H B b c A B C a a b c c h n

4ª RELAÇÃO MÉTRICA h c n A H B b c A B C a a b c c h n

TEOREMA DE PITÁGORAS (5ª RELAÇÃO MÉTRICA) Somando, membro a membro, as duas igualdades, tem-se: b c h n m a 2ª relação: b² = m . a 3ª relação: c² = n . a Observe que a = m + n

TEOREMA DE PITÁGORAS Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. A b a² = b² + c² c B a C

1ª e 4ª RELAÇÃO MÉTRICA SOB OUTRAS PERSPECTIVAS a = m + n C H  n  b h A m c A área do triângulo ABC pode ser calculada por:

RESUMO Relações métricas: 1ª) h² = m . n 2ª) b² = m . a 3ª) c² = n . a 4ª) a . h = b . c Teorema de Pitágoras 5ª) a² = b² + c² a m n h b c

TEOREMA DE PITÁGORAS Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo retângulo, que inaugurou um novo conceito de demonstração matemática. O Teorema de Pitágoras é provavelmente o mais célebre dos teoremas da Matemática, estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo.

A figura ao lado mostra o significado geométrico do Teorema de Pitágoras. A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.                                 

A área do quadrado maior é a soma das áreas dos quadrados menores Triângulo Retângulo A área do quadrado maior é a soma das áreas dos quadrados menores

Triângulo Retângulo c b + c a a b b c A área do quadrado é dada por a2 Efetuando a soma das áreas temos: a b c

Triângulo Retângulo a2 a c b b2 c2 Conclusão: a2 = b2 + c2 Isto é, a área do quadrado maior é a soma das áreas dos quadrados menores

Triângulo Retângulo h l l l Diagonal do quadrado e altura do triângulo equilátero l l h l