Conjuntos numéricos A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que procurava abstrair a natureza por meio de processos de determinação de quantidades. E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos

Naturais (N) N* = {1,2,3,4,5,...} N = {0,1,2,3,4,...} Como o zero originou-se depois dos outros números e possui algumas propriedades próprias, algumas vezes teremos a necessidade de representar o conjunto dos números naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido que o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo do conjunto, iria representar a ausência do zero. Veja o exemplo abaixo: N* = {1,2,3,4,5,...} Problemas do conjunto: Subtração: 3 – 4 =

Inteiros (Z) Z = {...,-2,-1,0,1,2,...} Assim como no conjunto dos naturais, podemos representar todos os inteiros sem o ZERO com a mesma notação usada para os NATURAIS. Inteiros não negativos sem o zero Inteiros não positivos sem o zero Problema no conjunto: Divisão: 1 : 2 =

Racionais (Q). Q = {a/b | a, b  Z e b  0}. Todo número que pode ser escrito em forma de fração. Exemplos: Decimais finitos; Dízimas periódicas; - Raízes exatas; Problema no Conjunto: Como escrever  em forma de fração

3,14159265... Este não é um número Racional, pois possui infinitos algarismos após a vírgula (representados pelas reticências) 2,252 Este é um número Racional, pois possui finitos algarismos após a vírgula. 2,252525... Este número possui infinitos números após a vírgula, mas é racional, é chamado de dízima periódica. Reconhecemos um número destes quando, após a vírgula, ele sempre repetir um número (no caso 25).

Irracionais (I). Raízes inexatas; Decimais infinitos e não periódicos; O "IRRACIONAIS“ é formado por todos os números que, ao contrário dos racionais, NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros. São eles: Raízes inexatas; Decimais infinitos e não periódicos;  = 3,141592...; e = 2,7182818...

Reais (R). o conjunto dos números Reais é formado por todos os números Racionais junto com os números Irracionais, portanto: Q  I = R.

Estudo dos Intervalos

Intervalos Numéricos Intervalos Numéricos são subconjuntos do conjunto dos números reais (). Exemplo:Considere a reta dos números Reais          -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 A distância entre dois pontos quaisquer sobre a reta real representa um intervalo numérico.

Representações dos Intervalos Numéricos Considere a reta dos números Reais: a) Por descrição: { x -1  x  2} b) Por notação: [ -1, 2] c) Na reta real: ( no final da reta usa-se ponto fechado ou aberto, de acordo com o tipo de intervalo). Observação: as notações podem ser [a, b] para intervalo fechado e ]a, b[ para intervalo aberto. Usa-se colchetes ou parênteses respectivamente para fechado ou aberto. -1 2

Tipos de Intervalos Numéricos a) Intervalo fechado:           -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Por descrição: { x -2  x  1} Por notação: [ -2, 1] Na reta real: -2 1

b) Intervalo aberto: Por descrição: { x -2 < x < 1}           o  -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Por descrição: { x -2 < x < 1} Por notação: ]-2, 1[ Na reta real:  o -2 1

c) Intervalo Semi Aberto à esquerda:            -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Por descrição: { x -2 < x  1} Por notação: ]-2, 1] Na reta real:  -2 1

d) Intervalo Semi Aberto à direita:            -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Por descrição: { x -2  x < 1} Por notação: [-2, 1[ Na reta real:  -2 1

e) Intervalo que tende ao infinito:           -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 +  Por descrição: { x x  -2} Por notação: [-2, +  [ Na reta real: -2 +  Observação: o intervalo pode tender ao infinito para a direita ou para a esquerda.

f) Similares Por descrição: { x -2  x < 1 e 2 < x  4}             -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Por descrição: { x -2  x < 1 e 2 < x  4} Por notação: [-2, 1[ e ] 2, 4]

EXERCÍCIOS Páginas 6 e 8

Operações com Frações Adição e subtração; Multiplicações ; Divisão; Potenciação e radiciação.

Adição e subtração Para adicionar ou subtrair frações, devemos proceder da seguinte maneira: Reduzimos as frações ao mesmo denominador, isto é, devemos calcular o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) dos denominadores; Adicionamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador comum; Simplificamos o resultado sempre que possível.

EXEMPLOS! a) b) c)

Multiplicação Para multiplicarmos frações, procedemos da seguinte forma: Multiplicam-se os numeradores entre si; Multiplicam-se os denominadores entre si; Simplifica-se a fração resultante, sempre que possível.

EXEMPLOS! a) b) c)

Divisão Para dividir duas frações, procedemos da seguinte forma: Multiplica-se a primeira fração pelo inverso da segunda fração; Simplifica-se o resultado sempre que possível.

EXEMPLOS!

Potenciação Para elevar uma fração a um certo expoente, eleva-se o numerador e o denominador a esse expoente. Observações: Elevando um número ao expoente par, o resultado será positivo, conforme o exemplo a. Elevando um número a um expoente ímpar, o resultado terá o sinal do próprio número, conforme o exemplo c.

EXEMPLOS!

Radiciação Para obter a raiz de uma fração, extraem-se as raízes do numerador Observações: Quando o índice da raiz for par não existirá a raiz de um número negativo, conforme o exemplo c. ℝ  conjunto dos números reais.

EXEMPLOS!

SEQUÊNCIA DE OPERAÇÕES As expressões numéricas e algébricas devem ser resolvidas obedecendo a seguinte ordem de operação: 1º  Potenciação e Radiciação; 2º  Multiplicação e Divisão; 3º  Adição e Subtração. Essas operações são assim realizadas: 1º  Parênteses; 2º  Colchetes; 3º  Chaves.

Produtos notáveis Os antigos gregos não conheciam a Álgebra abstrata. Os seus raciocínios matemáticos, as suas provas, as suas demonstrações eram geométricas. Um antigo geômetra grego não entenderia a seguinte expressão: Entretanto, ele sabia demonstrar geometricamente este produto notável.

O produto notável (a + b)² segundo a Geometria Observe que a área do quadrado de lado (a + b) é igual a área do quadrado maior , a², mais duas vezes a área do retângulo, ou seja, 2ab, mais a área do quadrado menor, b². a b a² ab ab b² (a + b)(a + b) = (a + b)² (a + b)² = a² + 2. ab + b²

Formas de produtos notáveis As expressões (a + b)², (a – b)², (a + b).(a – b) são chamadas de produtos notáveis. Os produtos notáveis aparecem com muita frequência em problemas matemáticos como, por exemplo, na resolução de equações e inequações.

Quadrado da soma de dois termos: (a + b)² Antes de desenvolver o produto (a + b)², vamos analisar o cálculo numérico: (2 + 1)² Diferente de

aa + ab + ba + bb = a² + 2ab + b² Logo escrevem-se os produtos na forma de potência e adicionam-se os termos semelhantes. Lembre-se: a . b = b . a aa + ab + ba + bb = a² + 2ab + b² portanto, (a + b)² = a² + 2ab + b²

Quadrado da soma de dois termos A igualdade (a + b)² = a² + 2ab + b² é uma identidade, pois ela é verdadeira para quaisquer valores de a e b. Veja alguns exemplos numéricos e algébricos: (3 + 1)² = 3² + 2.3.1 + 1² = 9 + 6 + 1 = 16 (x + y)² = x² + 2xy + y² = x² + 2xy + y² (a + 2)² = a² + 2a2 + 2² = a² + 4a + 4

Quadrado da diferença de dois termos (a – b)² Vamos desenvolver (a – b)² do mesmo modo que desenvolvemos (a + b)².

(a - b)² = aa – ab – ba + bb = a² – 2ab + b² Escrevem-se os produtos na forma de potência e adicionam-se os termos semelhantes: (a - b)² = aa – ab – ba + bb = a² – 2ab + b² Logo, (a – b)² = a² – 2ab + b²

Quadrado da diferença de dois termos A igualdade (a – b)² = a² – 2ab + b² também é uma identidade, pois é verdadeira para quaisquer valores de a e b. Veja alguns exemplos: (3 – 1)² = 3² – 2.3.1 + 1² = 9 – 6 + 1 = 4 (x – y)² = x² – 2xy + y² = x² – 2xy + y² (a – 2)² = a² – 2a2 + 2² = a² – 4a + 4

Produto notável da soma pela diferença

Observação

FATORAÇÃO Fatorar é transformar uma expressão algébrica em uma multiplicação de fatores. Fatoração é o processo inverso dos produtos notáveis.

AT = ax + ay + az = a (x + y + z) FATORAÇÃO DE UM POLINÔMIO Veja os retângulos e suas respectivas áreas: O polinômio que representa a área do retângulo amarelo é : A1 = ax. O polinômio que representa a área do retângulo azul é : A2 = ay. O polinômio que representa a área do retângulo vermelho é : A3 = az. Qual polinômio representa a área total? AT = ax + ay + az = a (x + y + z) Ao escrever o polinômio ax + ay + az na forma de produto a (x + y + z), estamos efetuando uma fatoração.

FATOR COMUM EM Evidência Como já foi dito fatorar significa transformar uma soma em produto de dois ou mais termos. Quando todos os termos de uma expressão algébrica apresentam um fator comum, podemos colocá-lo em evidência. Por exemplo: Na expressão ab + ac, o fator a aparece nos dois termos, este é o fator comum. A forma fatorada é o produto do fator comum por uma expressão que é obtida dividindo-se a expressão inicial pelo fator comum.

Exemplo 01 Fatore as expressões a seguir:

É UMA RECORRÊNCIA DO FATOR Fatoração por agrupamento É UMA RECORRÊNCIA DO FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA. Exemplo

Diferença de dois quadrados Neste processo verificamos que: a2 – b2 = (a + b).(a – b) Exemplo