Sistemas de Controle III N8SC3 Prof. Dr. Cesar da Costa 7.a Aula: Matriz de Transição de Estado no Domínio do Tempo

Matriz de Transição de Estado no Domínio da Frequência Para isolar a variável X(s) na equação: Deve-se pre-multiplicar ambos os membros da expressão pela inversa da matriz , que resulta em:   (11) Essa é a solução completa da equação de estado no domínio da frequência. Note que ela apresenta dois componentes: uma primeira parcela que só depende do estado inicial x0 e outra que é função apenas do vetor de entrada X(s). Então, se U(t) for nulo, teremos: (12)

Matriz de Transição de Estado Vemos que, no caso estudado, a matriz aplicada ao estado inicial x0 resulta no estado atual X(s).   Essa é a razão pela qual a matriz é denominada matriz de transição de estado.   Essa primeira parcela da solução completa da equação de estado denomina-se solução de entrada zero (pois é obtida com o sinal de entrada u(t)=0). u(t)=0

Matriz de Transição de Estado A segunda parcela da solução completa da equação de estado denomina-se solução de estado zero (pois é obtida da condição de estado inicial nula: x(0)=x0=0). X(0)=0 A matriz de transição de estado é comumente representada pela seguinte notação: (13)   Com essa notação, a solução completa da equação de estado fica sendo:   (14)

Matriz de Transição de Estado A solução dessa equação é, conforme vimos: Levando esse valor de X(s) na equação de saída, resulta: (Equação de saída) Substituindo-se pelo valor de X(s): (15) Ou: (16)

Matriz de Transição de Estado Essa é a resposta completa do sistema à excitação U(s) e ao estado inicial x0: (17) Como acontece com a solução completa da equação de estado, a resposta completa tambem apresenta duas parcelas distintas: Resposta a entrada zero, que é aquela que não depende de U(s) (tambem denominada resposta livre). Resposta ao estado zero, que é aquela que não depende do estado inicial x0.

Matriz de Transição de Estado Resposta a entrada zero: (18) Resposta ao estado zero: (19) Resposta complete do sistema: (20) Ou seja: (21)

Matriz de Transferência Na expressão da resposta de estado zero, pode-se definir a matriz transferência (de dimensões q x p): (22) Que permite escrever: (23) A matriz G(s) assim definida denomina-se matriz de transferência (ou matriz das funções de transferência) do sistema. No caso dos sistemas escalares, isto é, com uma só variável escalar de entrada e outra de saída, a matriz de transferência se reduz à função de transferência do sistema.

Exercício: O comportamento dinâmico de um sistema é descrito pela equação de estado: a) Determine o vetor de estado x(t) para o caso em x01= 3 e x02= -1 e as variáveis de entrada são nulas (u1(t)=0 e u2(t)= 0 ). b) Determine o vetor de estado x(t) para o caso em que x0= 0 e u1(t)=0 e u2(t)=h(t)=degrau unitário. c) Sendo a saída y(t)= x1(t). Determine a matriz de transferência G(s).

(u1(t)=0 e u2(t)= 0 ) Solucao: a) Neste caso, o estado inicial ‘e:   O vetor de entrada ‘e nulo (u1(t)=0 e u2(t)= 0 ) A solucao da equacao de estado se reduz a, pois, o comportamento livre, a saber:

Invertendo a matriz obtemos: Solucao: Calculemos :     Invertendo a matriz obtemos:    

Solucao: Logo:     No dominio do tempo (aplicando-se a transformada inversa de Laplace), tem-se:  

Solucao: b) Neste caso, o estado inicial x0 é nulo (x0= 0 ), uma das variáveis de entrada também é nula (u1(t)=0 ) e a outra é um degrau unitário (u2(t)=h(t)) solução da equação de estados se reduz ao componente de estado zero: Onde é o mesmo da solução (a) e U(s) é igual a transformada de Laplace de h(t), que ´1/s.  

Solucao: Finalmente, utilizando a transformada inversa de Laplace, obtemos para t > 0: c) O sistema em estudo tem duas entradas U1 e U2 e apenas uma saída y = x1. A matriz de transferência pode ser obtida facilmente pela expressão: No caso atual D = 0 e C = [1 0].

Solucao: Resulta G(s)= Matriz de transferência: Note que o primeiro termo da matriz de transferência é a função de transferência da primeira entrada U1 para a saída. Analogamente, o segundo termo é a função de transferência da segunda entrada para a saída.

Solucao: No exercício que estamos desenvolvendo tem-se que U1 (s) = 0 e U2(s) = 1/s, logo: Finalmente:

Notação de Bellman Prosseguindo no estudo da solução da equação de estado dos sistemas lineares, trabalhamos no domínio da frequência, vamos agora encaminhar a solução diretamente no domínio do tempo. Examinaremos aqui a obtenção da solução analítica. Entretanto, a maioria dos programas de solução numérica, via computador, não utilizam a solução analítica, mas sim integração numérica como Runge Kuta, Euler, etc. da equação de estado. O tratamento do modelo vetorial de estado no domínio do tempo depende de uma notação apropriada, atribuída a Bellman, e que será o nosso ponto de partida neste estudo.

Polinômio de Matriz Quadrada Seja A uma matriz quadrada de dimensões n x n, constituída por elementos reais ou complexos. Define-se para k inteiro positivo: Produto de k matrizes iguais a A. Sendo, para k = 0 : Consideremos agora um polinômio , de grau n, na variável escalar .

Notação de Bellman Então, define-se polinômio da matriz quadrada A, associado a , como o polinômio que se obtém substituindo-se por A em e multiplicando-se o termo constante pela matriz identidade I. Em particular, dizemos que A é uma raiz ou um zero de , se .

Resumo de Produto de Matrizes:

Resumo de Produto de Matrizes: (4.5)

Exercício: Lembrando-se:

Solução: Substituindo-se por A , tem-se: p(A) = Sendo:

Solução: Resulta: p(A) = Ou: p(A) =

Solução: No caso do polinômio q(A), tem-se:

Solução: Então, a matriz A é a raiz do polinômio q(A). Note ainda que é o polinômio característico da matriz A: Esse fato é exemplo de uma propriedade geral muito importante, garantida por um teorema denominado teorema de Cayley – Hamilton. Toda matriz é raiz de seu próprio polinômio característico.

Matriz Exponencial A função expenencial é definida pela série de potências:   Ou seja:

Matriz Exponencial Esta série tem a grande vantagem de ser convergente para qualquer valor finito, real ou complexo de ou de t.   Isto é, seu raio de convergência é infinito. O mesmo ocorre com a função de matriz quadrada A, associada a função f(A), que recebe o nome de matriz exponencial.   Ou seja:

Matriz Exponencial A série é convergente, quaisquer que sejam a matriz quadrada A e os valores t. Da definição apresentada resultam, para a matriz exponencial, propriedades análogas ás da função exponencial:

Matriz de Transição de Estado no Domínio do Tempo Anteriormente, estudamos a matriz de transição de estado no domínio da frequência, segundo a equação a seguir:. A matriz de transição de estado no domínio do tempo será, então:

Exercício da Lista: Prove matematicamente que a matriz de transição de estado de um sistema, no domínio do tempo, é a matriz exponencial da matriz A do referido sistema.