T E M A Â N G U L O S E T R I Â N G U L O S

CONTEÚDOS Ângulos  Complemento  Suplemento  Exemplos Triângulos  Classificações

Ângulos

Definição [ Ângulos ] Chamamos ângulo à reunião de duas semi-retas de mesma origem.

O ponto O é o vértice do ângulo. Os lados do ângulo são as semi-retas Quando não houver dúvida quanto ao ângulo, podemos tb representar o ângulo através de seu vértice: Ô.

[ Ângulos Consecutivos ] Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, um lado de um deles coincide com um lado do outro. Lembrar segmentos consecutivos

[ Ângulos Adjacentes ] Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não têm pontos internos comuns. Lembrar de segmentos adjacentes: n tem pt interno em comum

[ Ângulos Complementares] Dois ângulos são ditos complementares quando a soma de suas medidas é 90°. B C C O O A

[ Exemplo ] Qual o ângulo que excede o seu complemento em 76°? [ Solução ] Chamemos o ângulo procurado de x. Logo, seu complemento será (90° – x). Como o ângulo excede o complemento em 76° temos x = (90° – x) + 76°, encontrando 2x = 166° e logo x = 83°.

[ Ângulos Suplementares ] Dois ângulos são ditos suplementares quando a soma de suas medidas é 180°. A B O C

[ Observação ] O ângulo de medida 90° é chamado de ângulo reto, e o de medida 180°, de ângulo raso.

Obtenha o valor de x abaixo: [ Exemplo ] Obtenha o valor de x abaixo: [ Solução ] Basta ver que 35° + 90° + x = 180°, logo x = 180° - 125° = 55°. Comentar do quadradinho que indica 90°.

[ Ângulos Opostos pelo vértice (o.p.v.) ] Dois ângulos são o.p.v. se , e somente se, os lados de um deles são as respectivas semi-retas opostas aos lados do outro. Lembrar o q são semi-retas opostas!

[ Observação ] Dois ângulos o.p.v. são congruentes. [ Exemplo ] Encontrar o valor de abaixo:

Inicialmente temos que: [ Solução ] Inicialmente temos que: O O Como são o.p.v.

Substituindo (i) em (ii), obtemos [ Solução ] Por outro lado, Substituindo (i) em (ii), obtemos Falar que um ângulo raso mede 180°.

[ Solução ] Por último,

Definição [ Bissetriz de um ângulo ] Uma semi-reta Oc interna a um ângulo aÔb é chamada bissetriz desse ângulo se, e somente se, Comentar a notação da semi-reta Comentar a notação m(aOc) para indicar medida de ângulo

[ Exemplo ] Vamos obter x, sabendo que a semi-reta OP é bissetriz do ângulo AÔB:

[ Solução ] Como OP é bissetriz temos y – 10° = x + 30°, assim y – x = 40° (1) Por outro lado sabemos que 2y + y –10° + x + 30° = 180°, assim 3y + x = 160° (2)

[ Solução ] Por último resolvendo o sistema formado pelas equações (1) e (2) y – x = 40° 3y + x = 160° encontramos: y = 50° e x = 10°.

[ Classificação de Um Ângulo Quanto à Medida] Agudo: quando mede menos que 90° Obtuso: quando mede mais que 90° x < 90° x x > 90° x

Triângulos

Definição [ Triângulos ] Dados três pontos A, B e C, não colineares, chamamos triângulo ABC e indicamos por ▲ABC, à reunião dos segmentos AB, BC e AC.

Identificando seus elementos temos: [ Triângulos ] Identificando seus elementos temos: A, B e C são vértices; Os segmentos AB, BC e AC de medidas c, a, e b; são os lados; , e são os ângulos internos. Observar q o nome do lado é o mesmo q o do vértce, só q minúsculo.

[ Classificação dos triângulos ] Essa classificação é feita observando-se dois critérios: (1°) Lados: (2°) Ângulos: * Escaleno * Retângulo * Isósceles * Acutângulo * Equilátero * Obtusângulo

[ Classificação dos triângulos ] [ Escaleno ] Todos os lados possuem medidas diferentes.

[ Classificação dos triângulos ] [ Isósceles ] Possui dois lados com medidas iguais (consequentemente, os ângulos da base BC são iguais).

[ Exemplo ] Se o ▲ABC é isósceles de base BC, determine x e y.

[ Solução ] Sabemos que os ângulos da base são iguais, logo,

Assim y + x + 45° = 180° e obtemos y + x = 135°(1) [ Solução ] Assim y + x + 45° = 180° e obtemos y + x = 135°(1) Da mesma forma y + 2x - 40° = 180°, obtemos então y + 2x = 220°(2) Resolvendo o sistema formado pelas equações (1) e (2) encontramos; x = 85° e y = 50° Observar que poderia ter sido resolvido igualando 2x – 40 e x + 45.

[ Classificação dos triângulos ] [ Equilátero ] Todos os lados possuem a mesma medida (consequentemente, os ângulos também):

[ Classificação dos triângulos ] [ Observação ] No triângulo eqüilátero a altura divide a base BC em duas partes iguais:

De fato observando o triângulo AHC e utilizando uma das relações trigonométricas temos:

Podemos deduzir também a fórmula da altura deste triângulo: Rolando já falou do teo. Pitágoras

[ Exemplo ] Num triângulo isósceles, de perímetro 32 cm, a altura relativa à base vale 8 cm. Calcule as medidas dos lados congruentes. Lembra o q é perímetro.

Como H é o ponto médio de BC, temos: BH = HC = 16 − x [ Solução ] Fazendo AB = AC = x, vem: BC = 32 − 2x Como H é o ponto médio de BC, temos: BH = HC = 16 − x Vamos dar nome à medida de AB. Altura do isoceles divide a base ao meio.

Portanto, AB = AC = 10 cm.

[ Classificação dos triângulos ] [ Retângulo ] Possui um ângulo reto.

[ Classificação dos triângulos ] [ Acutângulo ] Possui todos os ângulos agudos.

[ Classificação dos triângulos ] [ Obtusângulo ] Possui um ângulo obtuso.

[ Definições Importantes ] Mediana de um triângulo − é um segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.

[ Definições Importantes ] Bissetriz interna de um triângulo − é o segmento que une um vértice ao lado oposto e que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes.

[ Teorema Importante ] Teorema do ângulo externo − Dado um ▲ABC um ângulo externo deste triângulo é sempre maior que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes.

Em particular temos que Agora como Colocar gráfico

[ Observação ] Ao maior lado opõe-se o maior ângulo, Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois (desigualdade triangular), ou seja:

[ Exemplo ] Na figura abaixo, r é a bissetriz do ângulo AÔC. Se α = 40° e β = 30°, qual o valor de γ ?

[ Solução ] Como α + β = 70°, temos AÔC=110° e, como r é bissetriz, m(rÔC) = m(rÔA)=55°. Por outro lado observando o ▲AOH temos que AÔH = 50°, mas como AÔH + γ = 55°, logo temos γ = 5°.

[Congruência de Triângulos] A idéia de congruência: duas figuras planas são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões (isto é, o mesmo tamanho).

Para escrever que dois triângulos ABC e DEF são congruentes, usaremos a notação:

Consideremos os triângulos abaixo:

Existe congruência entre os lados: AB e RS, BC e ST, CA e TR e entre os ângulos: A e R , B e S , C e T Daí, o triângulo ABC é congruente ao triângulo RST. Escrevemos:

Dois triângulos são congruentes, se os seus elementos correspondentes são ordenadamente congruentes, isto é, os lados correspondentes e os ângulos correspondentes dos triângulos têm as mesmas medidas.

Para verificar se dois triângulos são congruentes, não é necessário conhecer a medida de todos os elementos. Basta conhecer três elementos, entre os quais esteja presente pelo menos um lado. Vamos estudar qdo dois triângulos são congruentes.

Casos de Congruência de Triângulos

[ LLL (Lado, Lado, Lado) ] Os três lados são conhecidos. Se dois triângulos têm, ordenadamente, os três lados congruentes, então eles são congruentes. Observe que os elementos congruentes têm a mesma marca.

R S T C A B

[ LAL (Lado, Ângulo, Lado) ] Dados dois lados e um ângulo. Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles são congruentes.

T C R S A B

[ ALA (Ângulo, Lado, Ângulo) ] Dados dois ângulos e um lado. Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então eles são congruentes.

T C S A B R

[ LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto) ]: Conhecido um lado, um ângulo e um ângulo oposto ao lado. Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado então eles são congruentes.

T C R S A B

os três ângulos congruentes, Se dois triângulos têm os três ângulos congruentes, podemos dizer que eles são congruentes?

[ Exemplo 1 ]: Na figura, o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEC. Determine o valor de x e y. E A D C B . 3x 5y y + 48° 2x + 10°

[Solução]: . Temos que 3x = 2x + 10° e 5y = y + 48°, logo, A D C B . 2x + 10° 5y 3x Como os triângulos ABC e DEC são congruentes (nessa ordem de elementos), y + 48° Temos que 3x = 2x + 10° e 5y = y + 48°, logo, x = 10° e y = 12°. Relembrar.

[Proposição 1] A soma das medidas de quaisquer dois ângulos internos de um triângulo é menor que 180°. [Demonstração] Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, logo, a soma de dois deles é menor que 180°. Comentar que o Rolando falou que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Explicar que, se a soma dos três é 180, então, retirando um, fica menor.

[Corolário 1] Todo triângulo possui pelo menos dois ângulos internos agudos.

os três ângulos congruentes, Se dois triângulos têm os três ângulos congruentes, podemos dizer que eles são congruentes?

Dois triângulos que têm os mesmos ângulos NÃO são, necessariamente congruentes.

CONTEÚDOS Triângulos  Definição  Critérios de semelhança  Exemplos

Definição [ Semelhança de Triângulos ] Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados correspondentes (homólogos) proporcionais.

onde k é a razão de semelhança.

[ Exemplo 1 ] Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura abaixo são semelhantes. Se a razão de semelhança do 1° para o 2° é 3/2, determine: (1) Os lados do ▲ABC, (2) A razão entre seus perímetros.

[ Solução ] Utilizando a razão de semelhança temos

[ Solução ] Dessa forma o perímetro do ▲ABC é 54 u.c. Verificando a razão entre os perímetros desses triângulos temos: A razão entre os perímetros é igual à razão de semelhança entre eles.

[ Teorema Fundamental ] Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.

[ Exemplo 2 ] Se as retas DE e BC são paralelas, determine o valor de x.

[ Solução ] Já sabemos (pelo teorema anterior) que os triângulos ABC e ADE são semelhantes. Vamos então: separar as figuras escrever a proporção entre os lados conhecidos.

[ Solução ]

[ Solução ] Escrevendo a proporção entre os lados correspondentes temos

Como saber se dois triângulos são semelhantes?

[ Critérios de Semelhança ] Em resposta à pergunta anterior temos: [1º caso] Dois triângulos com dois ângulos ordenadamente congruentes são semelhantes.

[ Critérios de Semelhança ] [2º caso] Dois triângulos que possuem dois lados proporcionais e com ângulos compreendidos congruentes são semelhantes.

[ Critérios de Semelhança ] [3º caso] Dois triângulos que possuem os lados correspondentes proporcionais são semelhantes.

[ Exemplo 3 ] Na figura abaixo, obtenha x:

[ Solução ] Inicialmente separamos os triângulos e verificamos em qual caso de semelhança eles se enquadram

[ Solução ] Estão envolvidos dois triângulos retângulos com o ângulo do vértice B comum aos dois. Portanto se enquadram no 1° caso.

[ Solução ] Portanto

[ Exemplo 4 ] Determine a medida do lado do quadrado na figura abaixo:

[ Solução ] Observamos que os triângulos EDC e ABC são semelhantes pelo 1° caso. Chamemos o lado do quadrado de x, assim

[ Solução ] Portanto:

[ Referências ] Iezzi, Gelson. Matemática: Ciência e aplicações. São Paulo: Editora Atual, 2004. Giovanni, José Ruy. Matemática: Conjuntos, Funções e Progressões. São Paulo: FTD,1992.

Crescer é Ser cada dia um pouco mais nós mesmos. Dar espontaneamente sem cobrar inconscientemente. ... Aprender a ser feliz de dentro para fora. ... Sentir a vida na natureza. ... Reconhecer nossos erros e valorizar nossas virtudes. ... Entender que temos o espaço de uma vida inteira para crescer. ... Assumir que nunca seremos grandes, que o importante é estar sempre crescendo.