Cálculo 3 9. Integrais Duplas Coordenadas Polares Amintas Paiva Afonso Ensino Superior Cálculo 3 9. Integrais Duplas Coordenadas Polares Amintas Paiva Afonso

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Através de uma mudança de variáveis x = x(u, v) e y = y(u, v) uma integral dupla sobre uma região D do plano xy pode ser transformada numa integral dupla sobre uma região D ’ do plano uv.

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas A correspondência entre as regiões D’ e D é BIJETORA, e podemos retornar de D para D’ através da transformação inversa u = u(x, y) e v = v(x, y). Considerando que as funções em (1) e (2) são contínuas, com derivadas parciais contínuas em D ’ e D, respectivamente, temos (3)

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Onde é o determinante jacobiano de x e y em relação a u e v, dado por

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas A transformação que leva pontos (r, ) do plano r a pontos (x, y) do plano xy é dada por (4) e seu jacobiano é dado por Portanto, a fórmula (3) pode ser expressa por: (5)

Coordenadas Polares Obtenção da Fórmula Para que (4) seja bijetora, considera-se r para os quais r e  satisfazem:

Coordenadas Polares Área A’ do retângulo em D’ Área A do retângulo polar em D

Coordenadas Polares

Coordenadas Polares

Coordenadas Polares dA = dxdy = rdrdq

Coordenadas Polares Integral Dupla em D’ Assim, obtemos o jacobiano rk da fórmula (5). Enumerando os retângulos polares e 1 a n, tome um ponto arbitrário (xk , yk) no k-ésimo retângulo. Este ponto pode ser representado por (rk cosk , rk sink) que tem representação (rk , k) referente à região correspondente em D’. Assim, a soma de Riemann é equivalente a onde A'k = rkk é a área do k-ésimo retângulo em D’.

Coordenadas Polares Assim, se tomarmos limite com n   com o máximo das diagonais dos n retângulos tendendo a zero, temos que equivale a integral dada pela fórmula (5).

Coordenadas Polares y P(x,y) = P(r,q) Relações: r2 = x2 + y2 q = arctg(y/x) x = r.cosq y = r.senq z = z

Coordenadas Polares

y r2 = x2 + y2 P y cos  = x/r  = arctg y/x r sen  = y/r  x x Coordenadas Polares y r2 = x2 + y2 P y cos  = x/r  = arctg y/x r sen  = y/r  x x retang.  polares x = r cos  y = r sen  polares  retang.

Curvas em Coordenadas Polares y P r 2   1 x r = f () 1    2

Regiões em Coordenadas Polares y R r = f2 () 2 1 x f1 ()  r  f2 () r = f1 () 1    2

Integrais Duplas em Coordenadas Polares y Rk = (r12 - r22)( - )/2 R = [(r1 + r2)/2] (r) r2 unidade de área: Rk Rk r1   x

Integrais Duplas em Coordenadas Polares

Cálculo de Integrais Duplas em Coordenadas Polares r1 ()  r  r2 ()

Exercícios Exemplo: Calcular R é a região semicircular, x2 + y2 = 1, onde y é positivo. R = 1

Área de uma superfície Exemplo: Achar a área do parabolóide z = f(x,y) = x2 + y2 abaixo do plano z = 4. (sugestão: usar coordenadas polares).

Exercícios

Exercícios

Cálculo de Volumes - Aplicações Para f (x, y)  0, a integral nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferiormente pela região D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D.

Cálculo de Volumes - Aplicações A Integral dupla dá o volume sob a superfície f(x,y)

Teorema de Fubini

Teorema de Fubini

Exercícios

Cálculo Áreas de Regiões Planas Fazendo f (x, y) = 1, a área da região de integração D é dada por:

Exercícios