Universidade Federal Rural do Semiarido - UFERSA Movimento Periódico Jusciane da Costa e Silva Mossoró, Março de 2010

Sumário Movimento Movimento Harmônico Simples (MHS) Velocidade e Aceleração MHS Energia MHS Movimento Circular

MOVIMENTO A idéia de movimento é bastante relativa, pois depende de um referencial.

MOVIMENTO Quando o movimento varia apenas nas proximidades de um ponto (referencial), dizemos que temos uma oscilação. Oscilar é mover-se de um lado para o outro, movimentar-se alternadamente em sentidos opostos. Periódico é movimenta-se em intervalos de tempos iguais, de forma idêntica.

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS)

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) Consideremos o sistema massa mola:

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) A força restauradora é função apenas da deformação Assumindo que F(x) possui derivadas contínuas de todas as ordens, podemos expandi-las em uma Série de Taylor: Considerando os deslocamentos muito pequenos, temos

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) Sendo que Portanto Lembrando que o sinal negativo é por ser uma força restauradora. A força restauradora é uma força linear e portanto obedecem a Lei de Hooke.

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) A equação do MHS, segundo as leis de Newton é: Chegando a ou esta equação é uma equação diferencial, ordinária de segunda ordem, linear e homogênea, onde se define w como sendo a freqüência angular, que é uma função da massa e da constante elástica.

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) Este tipo de equação possui as seguintes propriedades: Combinando tais propriedades, podemos dizer que onde C1 e C2 são constantes. Vamos encontrar uma equação que tenha esse tipo. Como x é função do tempo, devemos encontrar um função que, sua derivada segunda seja proporcional à própria função. Uma função exponencial é deste tipo.

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) logo derivando, encontramos que logo a solução geral da equação diferencial geral fica Lembrando que

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) Depois de algumas manipulações matemáticas, temos. fazendo Portanto a solução para o sistema massa mola e conseqüentemente do MHS são:

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) Onde A é a amplitude de oscilação e a e j são constantes de fase ou ângulos de fase que diferem o movimento.

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) A AMPLITUDE (A) – módulo máximo do vetor deslocamento do corpo a partir da posição de equilíbrio, isto é, o valor máximo de |x|. CICLO – é uma oscilação completa. PERÍODO (T) – é o tempo correspondente a um ciclo. Ele é sempre positivo, sua unidade no SI é o segundo (s). FREQUÊNCIA ANGULAR (W) – é a taxa de variação temporal de algum ângulo. No SI a unidade é o rad/s. Função periódica de w0t de período 2p.

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES – (MHS) FREQUENCIA – é o número de ciclos na unidade de tempo. Ela sempre positiva e no SI é o HERTZ. 1 Hertz. = 1 Hz = 1 Ciclo/s = 1s-1 f é chamada de freqüência natural de ressonância do sistema. Portanto podemos escrever a freqüência angular em função da freqüência

VELOCIDADE E ACELERAÇÃO MHS A VELOCIDADE do movimento harmônico simples é: a grandeza wA é chamada de AMPLITUDE DE VELOCIDADE (Vm). A velocidade da partícula oscila de wA até – wA. A ACELERAÇÃO do movimento harmônico simples é: a grandeza w2A é chamada de AMPLITUDE DA ACELERAÇÃO (am). A velocidade da partícula oscila de w2A até – w2A.

VELOCIDADE E ACELERAÇÃO MHS

VELOCIDADE E ACELERAÇÃO MHS Quando estendemos uma mola e soltamos o bloco, ele ganha velocidade à medida que se move para posição de equilíbrio, sua aceleração é positiva. Substituindo a aceleração na 2 lei de Newton. que é a lei de Hooke, para k = mw2.

ENERGIA NO MHS Um sistema submetido a uma força F(x) = -kx tem energia cinética dada por Que é a energia cinética do meu sistema.

ENERGIA NO MHS integrando substituindo x(t) A energia potencial é obtida calculando o trabalho necessário para movimentar a partícula a uma distância x. integrando substituindo x(t) Que é a energia potencial do meu sistema.

ENERGIA NO MHS A energia total do oscilador harmônico será E independe do tempo, logo a energia total se conserva, portanto o oscilador harmônico simples é um sistema conservativo.

ENERGIA NO MHS Energias num MHS

Exemplo OHS Sistemas que possuem uma posição de equilíbrio executam um movimento harmônico simples, em torno desta posição (para deslocamentos pequenos). Sistemas que tem grandes acelerações, são osciladores não- harmônicos, ou seja, as forças de retorno não são mais proporcionais ao deslocamento. Neste caso o período (T) depende da amplitude (A). Veremos alguns exemplos de movimento harmônico simples: Pêndulo Simples Pêndulo Físico Pêndulo de torção

PÊNDULO SIMPLES Consideremos um pêndulo simples, como sendo um corpo de massa m suspensa por um fio ou haste de comprimento l e massa desprezível. A força restauradora é a componente tangencial da força resultante: para pequenos deslocamentos logo A força restauradora é proporcional a coordenada para pequenos deslocamentos e k = mg/L.

PÊNDULO SIMPLES A freqüência angular (w) de um pêndulo simples com amplitude pequena será A freqüência (f) e o período (T) correspondente são:

PÊNDULO FÍSICO O pêndulo físico é qualquer pêndulo real, que usa um corpo de volume finito. O pêndulo físico é qualquer pêndulo real, que usa um corpo de volume finito. Para pequenas oscilações, o movimento é aproximadamente harmônico simples. A equação do movimento

PÊNDULO FÍSICO A freqüência angular (w) de um pêndulo físico com amplitude pequena será A freqüência (f) e o período (T) correspondente são:

PÊNDULO TORÇÃO

MHS ANGULAR Um tipo de MHS é o MOVIMENTO CIRCULAR. O movimento circular é caracterizado pelo raio A da circunferência, e possui uma velocidade angular w0. Em t = 0, a fase inicial a = 0. Com o movimento no sentido anti-horário, o ângulo será:

MHS ANGULAR O deslocamento no movimento circular é conhecendo o deslocamento, podemos encontrar