Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Revisão Espaço Vetorial Subespaços Dependência e Independência linear Base http://projetomatematica.wikispaces.com Álgebra linear UEMS

Espaços Vetoriais

Propriedades dos E.V.

Exemplos de Espaços Vetoriais:

O conjunto das matrizes quadradas

Conjunto dos polinômios Exemplo 2.6 – Apostila (p.26) P(K) = {p(x) = anx^n + ... + a1x + a0; ai ∈ K e n ≥ 0} ´e um K - espaço vetorial com as operações usuais de soma de polinômios e multiplicação por escalar. Especificamente,sejam : p(x) = anxn + ... + a0 e q(x) = bmx^m + ... + b0 dois elementos em P(K). Sem perda de generalidade assumindo que n ≤ m, definimos a soma: (p + q)(x) = bmx^m + ... + bn+1 + (an + bn)x^n + ... + (a0 + b0) Além disso, se α ∈ K, o produto por escalar de α por p(x) ser´a, por definição, o polinômio: (αp)(x) = (αan)x^n + ... + (αa1)x + (αa0) Para cada m ≥ 0, o conjunto Pm(K) = {anx^n + ... + a1x + a0 : ai ∈ K 0 ≤ n ≤ m} também é um K - espaço vetorial (com as mesmas operações acima).

Exemplos - subespaço

Ex. Subespaço

Interseção de subespaços

Exemplo: Sistema de Equações Lineares O conjunto solução de S é um subespaço vetorial?

W é um subespaço vetorial do espaço vetorial R4 /R? Seja W= (0,0,0) pertence a W? Se w1,w2 ∈ W ⇒ w1+w2 ∈ W ? Se α ∈ R, e w ∈ W ⇒ αw ∈ W ?

Gráfico de Soluções de Sistemas Lineares – 3 incógnitas e 3 equações x + y + z = 1 (1) 2x + 2y + 2z = 2 (2) z = 0 (3) O conjunto solução (W) é um subespaço do espaço vetorial R³/R ? (1) = (3) ( 1) ∩ (2) = reta Solução algébrica : W= {(a, 1 - a, 0) / a pertence a R} Ao fazer a variar no conjunto dos números reais, obtemos todos os pontos dessa reta. Possui infinitas soluções - Posível Indeterminado

Soma Direta

Exemplo:

Exemplo:

Combinação Linear Exemplo: Dados os vetores u=(1,2,3), v=(3,2,1) e w=(-3,2,7) em R³ obtenha números α, β tais que: w = αu + β v. Quantas soluções admite este problema ?

Subespaço gerado Dizemos que um conjunto B é um conjunto gerador de V (ou B gera V) se todo elemento de V é uma combinação linear de um número finito de elementos de B.

Espaços das Matrizes M2(R)

Conjunto dos polinômios Pn(R)

Encontre o conjunto de Geradores dos subespaços abaixo:

Base e Dimensão

Base

Exercícios