Prof. Guilherme Jahnecke Weymar AULA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Cálculo Numérico Prof. Guilherme Jahnecke Weymar AULA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Fonte: Burden e Faires, Chapra e Canale, Quadros, diversos internet

Equações Diferenciais Ordinárias: Métodos de passo simples: - Euler; - Runge-Kutta 2; - Runge-Kutta 4; Métodos de passo simples: - Euler; - Runge-Kutta 2; - Runge-Kutta 4;

Equações Diferenciais Ordinárias: De forma geral, o que foi apresentado até o momento visa preparar o estudante para o objetivo maior do cálculo numérico: a solução numérica de equações diferenciais. Equações diferenciais são utilizadas em modelos que descrevem quantitativamente fenômenos, como por exemplo em fluxo de fluidos, transferência de calor, vibrações, reações químicas, fenômenos biológicos, etc. O seu surgimento é bem antigo; basta lembrar da equação de Bernoulli para escoamentos simples, dentre outros.

Equações Diferenciais Ordinárias: Uma E.D.O. (Equação Diferencial Ordinária), de ordem 𝑛 pode ser escrita como: 𝑦 (𝑛) =𝑓 𝑥, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , …, 𝑦 𝑛−1 (1) Cuja solução 𝜙(𝑥) é 𝑛 vezes diferenciável e satisfaz a eq. (1) 𝜙 (𝑛) =𝑓 𝑥, 𝜙 ′ , 𝜙 ′′ , …, 𝜙 𝑛−1 E.D. podem ser lineares ou não. Exemplos: 𝑥𝑦 ′ =−𝑦 linear 𝑥𝑦 ′′ + 1−𝑦 𝑦 ′ +𝑦=0 não linear

Equações Diferenciais Ordinárias: A solução particular de EDO's é obtida a partir de condições iniciais gerando os PVI's, problemas de valor inicial.   Exemplos de problemas de valor inicial PVI são: 𝑦 ′ 𝑥 =𝑥𝑦 𝑦 0 =0,3 𝑦 ′′′ 𝑥 +𝑦 𝑥 =2𝑥 𝑦 0 = 𝑦 ′ 0 =0 𝑦 ′′ 𝐿 =1 Existe um número muito restrito de equações diferenciais cujas soluções podem ser expressas sob a forma analítica simples; desta forma, os métodos numéricos são muito importantes na solução particular aproximada de equações diferenciais. A seguir apresentam-se alguns métodos usados para resolver uma grande quantidade de equações.

Métodos de passos simples para a solução de um PVI Dado um problema de valor inicial:   𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑓 𝑥,𝑦 𝑦 𝑥 0 = 𝑦 0 Pretende-se determinar aproximações 𝑦 𝑥 𝑗 igualmente espaçadas em [𝑥 0 , 𝑥 𝑓 ], ou seja, 𝑥 𝑗 = 𝑥 0 +ℎ; 𝑗=0,1,2,…,𝑛 e ℎ= 𝑥 𝑓 − 𝑥 0 𝑛 Os métodos que seguem são baseados em expansões em séries de Taylor de 𝑦(𝑥), ou seja, 𝑦 𝑥+ℎ =𝑦 𝑥 +ℎ𝑓 𝑥,𝑦 𝑥 + ℎ 2 2! 𝑓 ′ 𝑥,𝑦 𝑥 +…

Método de Euler Uma das primeiras tentativas de resolução numérica de uma equação diferencial foi feita provavelmente por Euler no século XVIII, gerando o método que se deve ao seu nome. Seu uso é limitado, pois o erro acumulado à medida que o processo se desenvolve é grande (corresponde a uma aproximação de 1ª ordem). Conhecendo-se 𝑥 0 e 𝑦 0 , o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da solução em 𝑥=𝑥 0 , ou seja, 𝜙 ′ 𝑥 0 =𝑓( 𝑥 0 , 𝑦 0 ), também é conhecido. Portanto, é possível construir a tangente à solução em 𝑥 0 e obter um valor aproximado 𝑦 1 de 𝜙 ( 𝑥 1 ) mediante um deslocamento sobre a reta tangente desde 𝑥 0 até 𝑥 1 , conforme mostra a figura.

Método de Euler

Método de Euler

Método de Euler Pelo teorema de Taylor: Suponha que y(𝑥), a única solução da equação: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑓 𝑥,𝑦 𝑦 𝑥 0 = 𝑦 0 Tenha duas derivadas contínuas em 𝑥 0 , 𝑥 𝑛 , de forma que para cada i=0,1,2,…,n−1, 𝑦 𝑥 𝑖+1 =𝑦 𝑥 𝑖 + 𝑥 𝑖+1 − 𝑥 𝑖 𝑦 ′ 𝑥 𝑖 + 𝑥 𝑖+1 − 𝑥 𝑖 2 2! 𝑦 ′′ 𝜉 𝑖 Para 𝜉 𝑖 ∈ 𝑥 𝑖 , 𝑥 𝑖+1 , tomando ℎ= 𝑥 𝑖+1 − 𝑥 𝑖 e 𝑦 ′ 𝑥 𝑖 =𝑓( 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 ): 𝑦 𝑥 𝑖+1 =𝑦 𝑥 𝑖 +ℎ𝑓( 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 )+ ℎ 2 2! 𝑦 ′′ 𝜉 𝑖 Equação de Diferença: ω 0 = y 0 𝜔 𝑖+1 = 𝜔 𝑖 +ℎ𝑓( 𝑥 𝑖 , 𝜔 𝑖 )

Método de Euler

Método de Euler

Método de Euler Exemplo: (1) Utilizar o M.E. para aproximar a solução do problema de valor inicial 𝑦 ′ =𝑦− 𝑥 2 +1, 0≤𝑥≤2, 𝑦 0 =0.5 com n=10. Exercícios: Use o M.E. para obter uma aproximação para as soluções de cada um dos seguintes PVI. 𝑦 ′ =𝑥 𝑒 3𝑥 −2𝑦, 0≤𝑥≤1, 𝑦 0 =0, com ℎ=0.5. 𝑦 ′ = cos 2𝑥 +𝑠𝑒𝑛 3𝑥 , 0≤𝑥≤1, 𝑦 0 =1, com ℎ=0.25

Métodos de Taylor de Ordem Superior Pelo teorema de Taylor: Suponha que y(𝑥), a única solução da equação: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑓 𝑥,𝑦 𝑦 𝑥 0 = 𝑦 0 Tenha ‘m+1’ derivadas contínuas em 𝑥 0 , 𝑥 𝑛 , de forma que para cada i=0,1,2,…,n−1, 𝑦 𝑥 𝑖+1 =𝑦 𝑥 𝑖 + 𝑥 𝑖+1 − 𝑥 𝑖 𝑦 ′ 𝑥 𝑖 + 𝑥 𝑖+1 − 𝑥 𝑖 2 2! 𝑦 ′′ 𝑥 𝑖 + +…+ 𝑥 𝑖+1 − 𝑥 𝑖 𝑚 (𝑚)! 𝑦 (𝑚) 𝑥 𝑖 + 𝑥 𝑖+1 − 𝑥 𝑖 𝑚+1 (𝑚+1)! 𝑦 (𝑚+1) 𝜉 𝑖 Para 𝜉 𝑖 ∈ 𝑥 𝑖 , 𝑥 𝑖+1 , tomando: ℎ= 𝑥 𝑖+1 − 𝑥 𝑖 𝑦 ′ 𝑥 =𝑓 𝑥,𝑦 𝑦 ′′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥,𝑦 Forma geral 𝑦 𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑘−1 𝑥,𝑦 . 14

Métodos de Taylor de Ordem Superior Assim: 𝑦 𝑥 𝑖+1 =𝑦 𝑥 𝑖 +ℎ𝑓 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 + ℎ 2 2! 𝑓 ′ 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 + …++ ℎ 𝑚 𝑚! 𝑓 (𝑚−1) ( 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 ) Método de Taylor de ordem n ω 0 = y 0 𝜔 𝑖+1 = 𝜔 𝑖 +ℎ𝑓 𝑥 𝑖 , 𝜔 𝑖 + ℎ 2 2 𝑓 ′ 𝑥 𝑖 , 𝜔 𝑖 +…+ ℎ 𝑚 𝑚! 𝑓 (𝑚−1) ( 𝑥 𝑖 , 𝜔 𝑖 )