Conceitos e Propriedades Ensino Superior Cálculo 2 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso

Integrais Duplas Integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas situações envolvendo cálculo de áreas e volumes, determinação de grandezas físicas e outros.

retângulo R = [a,b] x [c,d] Integrais Duplas f :IR2IR contínua no retângulo R = [a,b] x [c,d] y d R c a b x

Q = {(x,y,z)/(x,y)  R e 0  z  f(x,y)} Integrais Duplas f  0 em R Q = {(x,y,z)/(x,y)  R e 0  z  f(x,y)} Q z Volume de Q = V = ? y R x

Integrais Duplas Partição de R R Rij (xij , yij) y d yj y yj-1 y2 y1  (xij , yij) yj y yj-1 y2 y1 c a x1 x2 xi-1 xi b x x

Integrais Duplas V = z Q f (xij , yij) Vij y R (xij , yij ) x

Integral Dupla de f sobre o retângulo R Integrais Duplas Integral Dupla de f sobre o retângulo R

Integrais Duplas Integrais Iteradas

Integrais Duplas D y Integrais Duplas em Regiões Genéricas 1) Regiões inscritas em faixas verticais D y = g2(x) a b x y = g1(x) D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) }

Integrais Duplas D y Integrais Duplas em Regiões Genéricas d 1) Regiões inscritas em faixas horizontais D x = h2(y) c x x = h1(y) D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) }

Integrais Duplas Propriedades das Integrais Duplas

Massa e Centro de Massa de uma Lâmina Integrais Duplas Massa e Centro de Massa de uma Lâmina (x,y) : densidade no ponto (x,y) D : local ocupado pela lâmina m : massa da lâmina

Integrais Duplas Centro de Massa : (X,Y) onde X = My/m e Y = Mx/m para : e

Exemplo 1

Exemplo 2 dx

Exemplo 3 

Exemplo 4

Exemplo 5

Exemplo 6

Exemplo 7 Calcule , onde R = [1, 2] x [0, ].

Exemplo 8 Calcule a integral Iterada D = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1}

Exemplo 8 Calcule a integral Iterada D = {(x, y) / 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}

Exemplo 8 Calcule a integral Iterada

Exercícios Calcule a integral abaixo onde R é o retângulo no plano xy limitado pelo eixo x, pela reta y = x e pela reta x = 1. 2) Resolver a integral dupla . 3) Integrar a função f(x,y), considerando o domínio definido pelas retas x = 0, y = 0 e y = x. .

Propriedades das Integrais Duplas

Múltiplo constante: Soma e diferença: Aditividade: (R = R1 + R2) Integrais Dupla para Domínios Não Retangulares Múltiplo constante: Soma e diferença: Aditividade: (R = R1 + R2)

Cálculo de Integrais Duplas Se f (x, y) é contínua no retângulo R = [a, b] × [c, d], a integral dupla é igual a integral iterada. a b x y c d y fixo fixo x

Cálculo de Integrais Duplas Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / x em [a, b] e h(x)  y  g(x)}, a integral dupla é igual a integral iterada. y g(x) A h(x) x a x b

Cálculo de Integrais Duplas Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / y em [c, d] e h(y)  x  g(y)}, a integral dupla é igual a integral iterada. y d A y h(y) g(y) c x

Cálculo de Integrais Duplas

Integrais Duplas para Domínios Não Retangulares

Cálculo de Integrais Duplas

Integrais Dupla para Domínios Não Retangulares

Cálculo de Integrais Duplas

Integrais Iteradas – Definição

Exercícios Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2.

Exercícios Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6. Resposta: 36

Exercícios Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6.

Exercícios Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6.

Exercícios

Exercícios

Exercícios

Exercícios

Exercícios

Exercícios

Exercícios

Exercícios

Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R

Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R Exemplo: Calcular o valor médio da função f(x,y) = sen(x + y), no retângulo 0  x   e 0  x  /2.