Geometria

Conceitos Iniciais Ponto: A,B,C... Reta: r,s,t... Plano: ,,.. Conceitos Primitivos  A B r Reta que passa pelos pontos A e B Semi-retas

Conceitos Iniciais  A B A B r Segmento de reta

Estudo dos ÂNGULOS PARALELISMO

Algumas relações importantes Qual a soma das medidas dos ângulos ao lado ? b . a

Algumas relações importantes Se a + b = 90 o ; então estes são chamados ÂNGULOS COMPLEMENTARES b . a a é o complementar de b b é o complementar de a

PERGUNTA !!! Quanto mede o compl. do ângulo x ? ? . x

PERGUNTA !!! . 90º - x x Compl(x) = 90o - x Quanto mede o compl. do ângulo x ? 90º - x . x Compl(x) = 90o - x

Ângulos Suplementares b a a + b = 180o Pares de ângulos que somam 180o são suplementares. supl(x) = 180o - x

Dica! Bissetriz A P  O B Todo ponto da bissetriz é eqüidistante das duas semi-retas

Ângulos Suplementares    +  = 180°

Ângulos Suplementares  +  = 180°   /2 /2  +  = 180° /2 + /2 = 90° As bissetrizes de dois ângulos adjacentes e suplementares são perpendiculares

Paralelismo r s Essas retas são paralelas ?

Paralelismo r s Essas retas são paralelas ?

Paralelismo t r s Com a reta “t” transversal às r e s ficam determinados 8 ângulos, com os quais vamos definir os principais casos de paralelismo.

Paralelismo t 2 1 r 3 4 6 5 s 7 8 Com a reta “t” transversal às r e s ficam determinados 8 ângulos, com os quais vamos definir os principais casos de paralelismo.

Paralelismo - 1º caso

Paralelismo - 1º caso t a r b s São chamados ângulos CORRESPONDENTES Os ângulos a e b estão na mesma posição em relação às retas horizontais e estão ambos à direita de t. São chamados ângulos CORRESPONDENTES

O que podemos afirmar sobre os ângulos a e b ? Paralelismo - 1º caso r s t a b O que podemos afirmar sobre os ângulos a e b ?

O que podemos afirmar sobre os ângulos a e b ? Paralelismo - 1º caso t a r b s O que podemos afirmar sobre os ângulos a e b ?

O que podemos afirmar sobre os ângulos a e b ? Paralelismo - 1º caso t a r b s O que podemos afirmar sobre os ângulos a e b ?

O que podemos afirmar sobre os ângulos a e b ? Paralelismo - 1º caso t a = b r  s O que podemos afirmar sobre os ângulos a e b ?

Conclusão r s t a b Se os ângulos a e b são c o n g r u e n t e s (iguais) ; as retas r e s são paralelas. Se as retas r e s forem paralelas; os ângulos correspondentes determinados por uma transversal t serão congruentes.

Conclusão r s t a b Se a  b  r // s

Comparação fig. 1 fig.2 “diferentes” “iguais” r //s b b “diferentes” “iguais” r //s Ângulos correspondentes

Paralelismo - 2º caso

Paralelismo - 2º caso t r a b s Esses ângulos estão posicionados como os ângulos do 1o caso ?

Paralelismo - 2º caso X 1º caso t t a b r s r s a b

Paralelismo - 2º caso t r a b s Claro que não ! Nesse caso, os ângulos estão em posições alternadas. Um acima de s, o outro abaixo de r. Um à direita e outro à esquerda de t.

Paralelismo - 2º caso São os ângulos ALTERNOS. t Podem ser INTERNOS, como a e b, ou então EXTERNOS. r s t b a

Paralelismo - 2º caso t y x r s x e y são ALTERNOS EXTERNOS.

Paralelismo - 2º caso t t y x r r b a s s Em qualquer um dos casos, se temos pares de ângulos congruentes, as retas r e s serão paralelas, e v.v.

Paralelismo - 2º caso t t y x r r b a s s Se a  b  r//s Se x  y  r//s

Paralelismo - 3º caso

Paralelismo - 3º caso t r a b s Na figura acima temos ângulos que não são alternos ou correspondentes. Apenas estão do mesmo lado em relação à reta transversal t .

Paralelismo - 3º caso t r a b s Esses são chamados ângulos COLATERAIS, que também podem ser INTERNOS ou EXTERNOS.

Paralelismo - 3º caso t r a b s Colaterais Internos

Paralelismo - 3º caso t a r s b Colaterais Externos

Paralelismo - 3º caso t t a r r a b s s b Note que nesse caso é fácil perceber que os ângulos não são congruentes, pois um é agudo e o outro obtuso. (é possível que ambos sejam retos)

Paralelismo - 3º caso t t a r r a b s s b Qual parece ser a relação que os ângulos das figuras devem satisfazer para que as retas r e s sejam paralelas ?

Paralelismo - 3º caso t a r s b

Paralelismo - 3º caso t a r s b

Paralelismo - 3º caso t a r s b

Paralelismo - 3º caso t a r s b

Paralelismo - 3º caso Se a + b = 180o  r//s. (a e b suplementares) t

Ex 01 – Considere o triângulo ABC de lados a = BC, b = AC e c = AB e ângulos internos α = CÂB, β = ABC e γ = BCA. Sabendo-se que a equação x2 – 2bxcosα + b2 – a2 = 0 admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que A) α = 90o. B) β = 60 o. C) γ = 90 o. D) O triângulo é retângulo apenas se α = 45 o. E) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa.

F I M