PROFESSOR: ALEXSANDRO DE sOUSA E.E. Dona Antônia Valadares Matemática Ensino MÉDIO - 1º Ano INTERVALOS REAIS PROFESSOR: ALEXSANDRO DE sOUSA http://donaantoniavaladares.comunidades.net

Pense!! Considere as seguintes afirmações: MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Pense!! Considere as seguintes afirmações: O tempo entre um período de aula e outro. O tempo entre uma badalada de sino e outra. O espaço entre as fendas de uma grade. O espaço de tempo entre duas épocas O espaço de tempo entre duas oscilações sonoras A distância entre dois pontos. O que se poderia dizer quanto as afirmações? Prof: Alexsandro de Sousa

Resposta: Todas as afirmações nos dão a ideia subjetiva de intervalo. MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Resposta: Todas as afirmações nos dão a ideia subjetiva de intervalo. A partir delas vamos estudar Intervalos Numéricos, os quais serão estudados no Conjunto dos Números Reais () Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Intervalos Reais Intervalos Reais são subconjuntos do conjunto dos números reais (). Exemplo:Considere a reta dos números Reais -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 A distância entre dois pontos quaisquer sobre a reta real representa um intervalo real. Prof: Alexsandro de Sousa

(a,b) ou ]a,b[ =intervalo aberto MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Antes vamos definir alguns símbolos: = { igual}              < {menor}          > {maior} ≥  {maior ou igual}        ≤ {menor ou igual} [a,b] = intervalo fechado       (a,b) ou ]a,b[ =intervalo aberto  Prof: Alexsandro de Sousa

Representações dos Intervalos Reais MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Representações dos Intervalos Reais Considere a reta dos números Reais:          -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 a) Por descrição: { x -1  x  2} (Notação de conjunto) b) Por notação: [ -1, 2] (Notação de intervalo) c) Na reta real: ( no final da reta usa-se ponto fechado ou aberto, de acordo com o tipo de intervalo). Observação: as notações podem ser [a, b] para intervalo fechado e ]a, b[ para intervalo aberto. Usa-se colchetes ou parênteses respectivamente para fechado ou aberto. -1 2 Prof: Alexsandro de Sousa

Tipos de Intervalos Reais MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Tipos de Intervalos Reais a) Intervalo fechado:           -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Por descrição: { x -2  x  1} Por notação: [ -2, 1] Na reta real: -2 1 Prof: Alexsandro de Sousa

b) Intervalo aberto: Por descrição: { x -2 < x < 1} MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados b) Intervalo aberto:           o -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  Por descrição: { x -2 < x < 1} Por notação: ]-2, 1[ Na reta real:  o -2 1 Prof: Alexsandro de Sousa

c) Intervalo Semi Aberto à esquerda: MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados c) Intervalo Semi Aberto à esquerda:           -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  Por descrição: { x -2 < x  1} Por notação: ]-2, 1] Na reta real:  -2 1 Prof: Alexsandro de Sousa

d) Intervalo Semi Aberto à direita: MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados d) Intervalo Semi Aberto à direita:            -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Por descrição: { x -2  x < 1} Por notação: [-2, 1[ Na reta real:  -2 1 Prof: Alexsandro de Sousa

e) Intervalo que tende ao infinito: MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados e) Intervalo que tende ao infinito:           -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 +  Por descrição: { x x  -2} Por notação: [-2, +  [ Na reta real: -2 +  Observação: o intervalo pode tender ao infinito para a direita ou para a esquerda. Prof: Alexsandro de Sousa

Resumo sobre intervalos reais MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Resumo sobre intervalos reais TIPOS REPRESENTAÇÃO OBSERVAÇÃO Intervalo fechado [a,b] = {x € IR | a ≤ x ≤ b} Inclui os limites a e b Intervalo aberto ]a,b[ = { x € IR | a < x < b} Exclui os limites a e b Intervalo semiaberto à direita [a,b[ = { x € IR | a ≤ x < b} Inclui a e exclui b Intervalo semiaberto à esquerda ]a,b] = {x € IR | a < x ≤ b} Exclui a e inclui b Intervalo semi-fechado [a, +∞[ = {x € IR | x ≥ a} Valores maiores ou iguais a ] -∞ , b] = { x € IR | x ≤ b} Valores menores ou iguais b Intervalo semi-aberto ]-∞ , b[ = { x € IR | x < b} Valores menores do que b ]a, +∞[ = { x € IR | x > a } Valores maiores do que a Prof: Alexsandro de Sousa

Operações com intervalos MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Operações com intervalos Prof: Alexsandro de Sousa

Uniãordenados A  B A  B = {x  –3  x  8} ou [–3, 8] Prof: Alexsandro de Sousa

Intersecção A  B A  B = {x   0 < x < 2} ou ]0, 2[ MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Intersecção A  B A  B = {x   0 < x < 2} ou ]0, 2[ Prof: Alexsandro de Sousa

Diferença A – B A – B = {x   –3  x  0} ou [–3, 0] MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Diferença A – B A – B = {x   –3  x  0} ou [–3, 0] Prof: Alexsandro de Sousa

Diferença B – A B – A = {x   2  x  8} ou [2, 8] MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Diferença B – A B – A = {x   2  x  8} ou [2, 8] Prof: Alexsandro de Sousa

Intersecção de Intervalos Exemplo 1 Consideremos os intervalos Vamos determinar e começando por fazer a sua representação gráfica A partir desta representação é possível observar que os elementos comuns estão entre . e Prof: Alexsandro de Sousa

Intersecção de Intervalos E o que podemos dizer relativamente aos extremos, pertencem ou não à intersecção? Neste caso, podemos ver que nem o nem o pertencem, já que Então, e Prof: Alexsandro de Sousa

Intersecção de Intervalos Sejam Exemplo 2 Façamos a sua representação gráfica afim de determinar e Não existem elementos comuns aos dois intervalos. A intersecção é assim um conjunto vazio Prof: Alexsandro de Sousa

Intersecção de Intervalos Exemplo 3 Dados os intervalos e encontremos a sua intersecção. A representação gráfica é Neste caso o único elemento comum aos dois intervalos é o Logo, Prof: Alexsandro de Sousa

Intersecção de Intervalos Exemplo 4 Dados os intervalos e procuremos a intersecção dos dois intervalos.  A representação gráfica é Agora não existem elementos que pertençam simultaneamente aos dois intervalos já que o pertence a mas não pertence a . Assim, Prof: Alexsandro de Sousa

Intersecção de Intervalos Exemplo 5 Dados os intervalos e procuremos a intersecção dos dois intervalos.  A representação gráfica é Neste caso temos , Logo, Assim, Prof: Alexsandro de Sousa

Reunião de Intervalos Exemplo 1 Consideremos os intervalos Comecemos por fazer a representação gráfica de e . e Assim, Prof: Alexsandro de Sousa

Reunião de Intervalos Exemplo 2 e Consideremos os intervalos Mais uma vez, vamos começar por fazer a representação gráfica, de , e . e Neste caso verificamos que, unindo os elementos de A com os de C obtemos todos os elementos de Portanto R Prof: Alexsandro de Sousa

Reunião de Intervalos Exemplo 3 e Consideremos os intervalos A representação gráfica destes dois intervalos é. e A intersecção dos intervalos e é o conjunto vazio. Não nos é possível representar esta reunião sob a forma de um único intervalo. Prof: Alexsandro de Sousa

Reunião de Intervalos Exemplo 4 e Consideremos os intervalos No nosso último exemplo pretendemos determinar a reunião de com . e Atendendo a que temos que a reunião é Ou seja, a reunião destes dois conjuntos é o próprio conjunto . Prof: Alexsandro de Sousa