Matemática Básica Ângulos

Medida do Ângulo convexo ÂNGULO – é a abertura formada por dois raios divergentes que têm um extremo comum que se denomina vértice. ELEMENTOS DE UM ÂNGULO: O A B LADO VÉRTICE   Medida do Ângulo convexo Medida do Ângulo côncavo

CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SUA MEDIDA a) ÂNGULO CONVEXO 0º <  < 180º  a.1) ÂNGULO AGUDO  0º <  < 90º

a.2) ÂNGULO RETO  = 90º  a.3) ÂNGULO OBTUSO 90º <  < 180º 

CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SOMA a) ÂNGULOS COMPLEMENTARES    = 90º   b) ÂNGULOS SUPLEMENTARES  +  = 180º  

CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SUA POSIÇÃO ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE b) ÂNGULOS CONSECUTIVOS a) ÂNGULOS ADJACENTES      Un lado comum Pode formar mais ângulos ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE  são congruentes

ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS PARALELAS E UMA RETA SECANTE 1 2 3 4 5 6 7 8 01. Ângulos alternos internos: m 3 = m 5; m 4 = m 6 04. Ângulos conjugados externos: m 1+m 8=m 2+m 7=180° 02. Ângulos alternos externos: m 1 = m 7; m 2 = m 8 05. Ângulos correspondentes: m 1 = m 5; m 4 = m 8 m 2 = m 6; m 3 = m 7 03. Ângulos conjugados internos: m 3+m 6=m 4+m 5=180°

PROPRIEDADES DOS ÂNGULOS 01- Ângulos que se formam por uma linha poligonal entre duas retas paralelas.    x y  +  +  = x + y

02- ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS PARALELAS       +  +  +  +  = 180°

03- ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES    +  = 180°

PROBLEMAS RESOLVIDOS

90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X 90° - 90° = 180° - 2X X = 90° Problema Nº 01 O complemento da diferença entre o suplemento e o complemento de um ângulo “X” é igual ao dobro do complemento do ângulo “X”. Calcule a medida do ângulo “X”. RESOLUÇÃO A estrutura segundo o enunciado: 90 - { ( ) - ( ) } = ( ) 180° - X 90° - X 2 90° - X Desenvolvendo se obtem: 90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X 90° - 90° = 180° - 2X Logo se reduz a: X = 90° 2X = 180°

Problema Nº 02 A soma das medidas dos ângulos é 80° e o complemento do primeiro ângulo é o dobro da medida do segundo ângulo. Calcule a diferença das medidas desses ângulos. RESOLUÇÃO Sejam os ângulos:  e  Dado:  +  = 80°  = 80° -  ( 1 ) Dado: ( 90° -  ) = 2 ( 2 )  = 70° Resolvendo Substituindo (1) em (2):  = 10° Diferença das medidas ( 90° -  ) = 2 ( 80° -  )  -  = 70°-10° = 60° 90° -  = 160° -2

Problema Nº 03 A soma de seus complementos dos ângulos é 130° e a diferença de seus suplementos dos mesmos ângulos é 10°. Calcule a medida destes ângulos. RESOLUÇÃO Sejam os ângulos:  e  Do enunciado:  +  = 50° (+) ( 90° -  ) + ( 90° -  ) = 130°  -  = 10°  +  = 50° ( 1 ) 2 = 60° Do enunciado: - ( 180° -  ) ( 180° -  ) = 10°  = 30°  -  = 10° ( 2 )  = 20° Resolvendo: (1) e (2)

Problema Nº 04 Se têm ângulos adjacentes AOB e BOC (AOB<BOC), se traça a bissetriz OM dol ângulo AOC; se os ângulos BOC e BOM medem 60° e 20° respectivamente. Calcule a medida do ângulo AOB. RESOLUÇÃO Da figura: A B O C  = 60° - 20° M  = 40° 20° X Logo:  60° X = 40° - 20° X = 20°

Problema Nº 05 A diferença das medidas dos ângulos adjacentes AOB e BOC é 30°. Calcule a medida do ângulo formado pela bissetriz do ângulo AOC com o lado OB. Do enunciado: RESOLUÇÃO Construção do gráfico segundo o enunciado AOB - OBC = 30° A O B C Logo se substitui pelo que se observa no gráfico M (  + X) - ( - X) = 30º 2X=30º  X  (- X) X = 15°

Problema Nº 06 Se têm os ângulos consecutivos AOB, BOC e COD tal que a mAOC = mBOD = 90°. Calcule a medida do ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos AOB e COD. RESOLUÇÃO Construção do gráfico segundo o enunciado Da figura: A C M N B D 2 +  = 90° ( + )  + 2 = 90° X 2 + 2 + 2 = 180°    +  +  = 90°  X =  +  +  X = 90°

Problema Nº 07 Se m // n . Calcule a medida do ângulo “X” 80° 30°   X m n

Propriedade do quadrilátero RESOLUÇÃO 80° 30°   X m n Pela propriedade 80° =  +  + X (2) 2 + 2 = 80° + 30° Substituindo (1) em (2)  +  = 55° (1) 80° = 55° + X Propriedade do quadrilátero côncavo X = 25°

Problema Nº 08 Se m // n . Calcular a medida do ângulo “X” 5 4 65° X m n

RESOLUÇÃO 5 4 65° X m n 40° 65° Pela propiedad: Ângulo exterior do triângulo 4 + 5 = 90° X = 40° + 65°  = 10° X = 105°

Problema Nº 09 Se m // n . Calcule a medida do ângulo ”X”  2 x m n  2

X = 60° 3 + 3 = 180°  +  = 60° X =  +  RESOLUÇÃO x x m  2 2 n Ângulos conjugados internos Ângulos entre línhas poligonais 3 + 3 = 180°  +  = 60° X = 60° X =  + 

PROBLEMAS PROPOSTOS DE ÂNGULOS ENTRE PARALELAS

PROBLEMA 01- Se L1 // L2 . Calcule a m  x   4x 3x L1 L2 A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°

PROBLEMA 02- Se m // n. Calcule a m  x 30° X A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°

PROBLEMA 03- Se m // n. Calcule a m   3  m n A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°

PROBLEMA 04- Se m // n. Calcule o valor de “x” 40° 95°  2x m n A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°

x PROBLEMA 05- Calcule m  x 3 6 A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°

 4 4  PROBLEMA 06- Se m // n. Calcule m  x m n X A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°

 x  PROBLEMA 07- Se. Calcule m  x m 88° 24° n A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°

PROBLEMA 08- Se m // n. Calcule m  x 20° 30° X m n A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°

PROBLEMA 09- Se m//n e  -  = 80°. Calcule mx A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°

x PROBLEMA 10- Se m // n. Calcule m  x m n A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°

 PROBLEMA 11- Se m // n. Calcule m   m 2 180°-2 n A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°

PROBLEMA 12- Se m // n. Calcule m  x   x 80° m n A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°

PROBLEMA 13- Se m // n. Calcule m  x 80°   m n x A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°

REPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS 20º 8. 50º 30º 9. 80º 45º 10. 30º 10º 11. 60º 120º 12. 40º 36º 13. 50º 7. 32º