Coordenadas Definição: Diz-se que uma base é ordenada se a ordem dos vetores é fixada. Proposição: Dada uma base ordenada para o espaço vetorial, cada vetor dele é escrito de maneira única como combinação linear dos elementos dessa base.
Coordenadas Definição: Dados uma base ordenada para um subespaço vetorial real e um vetor do subespaço, chamamos de coordenadas do vetor com relação à base, aos escalares únicos da combinação linear. Notação:
Exercícios Exercício 05: Dados os vetores abaixo, determine as coordenadas de cada um deles em relação às bases dadas em cada caso:
Mudança de Base Sejam e duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial . Dado um vetor , ele pode ser escrito das seguintes formas:
Mudança de Base
Mudança de Base Como B é base, cada vetor da base D pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base B, ou seja:
Substituindo (3) em (2) temos: Bases Substituindo (3) em (2) temos:
Reagrupando (4) de modo a compará-lo com (1) temos: Bases Reagrupando (4) de modo a compará-lo com (1) temos:
Comparando os vetores de (1) e (4) temos: Bases Comparando os vetores de (1) e (4) temos:
Assim de (6) temos: Coordenadas do vetor na Base D Matriz Mudança de Base de D para B Coordenadas do vetor na Base B
Base Canônica do Plano Cartesiano Exercício 01: Considere as bases ordenadas B e C, determine as três matrizes abaixo: e Base Canônica do Plano Cartesiano Bases Ordenadas
Proposição: Se a matriz de mudança da base para a base ordenada é a matriz dada por e a matriz de mudança da base para a base é a matriz dada por Então temos:
Observações 1) 2) 3)
Exercício Exerc. 02: Determine a matriz mudança da base B para a base canônica C do espaço vetorial dado, e sua inversa, em cada caso: A) B) C)