Subespaços Vetoriais Seja o Espaço Vetorial Real e dois subespaços vetoriais. Proposição: A interseção de é um subespaço vetorial de . Obs: 1) Note que a união de subespaços vetoriais não é um subespaço vetorial. 2) Todo espaço vetorial possui pelo menos dois subespaços, os quais são chamados de subespaços triviais. São eles:
Subespaços Vetoriais Proposição: Considere o conjunto dado por: Este conjunto é um subespaço vetorial de , chamado de Subespaço Soma. Obs: Nestas condições temos que:
Subespaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais Definição: Seja um espaço vetorial e sejam , dois subespaços vetoriais de , tais que: e Neste caso, dizemos que é a Soma Direta de e . Os subespaços são ditos Subespaços Suplementares. Notação:
Subespaços Vetoriais Exercício 01: Verifique se é a soma direta de e . Proposição: Sejam e subespaços vetoriais de um espaço vetorial. Então se e somente se cada vetor admite uma única decomposição , onde .
Combinação Linear Definição: Seja um espaço vetorial real e . Diz-se que um vetor é combinação linear dos elementos de , se existirem escalares tais que: e
Subespaço Gerado Proposição: Seja um espaço vetorial real e . Considere o conjunto de todas as combinações possíveis de , ou seja, Esse subconjunto é um subespaço vetorial real chamado Subespaço Vetorial Gerado por . Notação: