Isomorfismo Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear de entre eles. Dizemos que a transformação linear é um isomorfismo entre eles se é uma transformação bijetora (isto é, injetora e sobrejetora). Notação:

Automorfismo Definição: Dizemos que um isomorfismo entre espaços vetoriais reais é um automorfismo se os espaços são iguais, ou seja, T é um isomorfismo de um espaço nele mesmo. Proposição: Dado um isomorfismo sua transformação inversa é também um isomorfismo.

Resultados Importantes Proposição: Dados dois espaços vetoriais reais de mesma dimensão, então a transformação linear dada a seguir é um isomorfismo entre eles.

Resultados Importantes Teorema: Dois espaços vetoriais de dimensão finita são isomorfos se e somente se Exercícios: Transformações Lineares II

Operações com Transformações Lineares Definição: Dados dois espaços vetoriais reais, definimos o conjunto das trans-formações lineares entre eles por: Observação: Se os espaços vetoriais reais são iguais então

Operações com Transformações Lineares Adição: Dados dois elementos do conjunto das transformações lineares entre espaços vetoriais reais, definimos:

Propriedades da Adição P1) Associativa P2) Comutativa

Propriedades da Adição P3) Elemento Neutro P4) Elemento Oposto

Operações com Transformações Lineares Multiplicação por escalar: Denominamos de produto escalar de uma transformação linear à seguinte função:

Propriedades da Multiplicação por escalar

Novo Espaço Vetorial Das considerações anteriores temos um novo espaço vetorial real, com as operações de adição e multiplicação por escalar como definidas:

Operações com Transformações Lineares Composição: Dados dois elementos do conjunto dos operadores lineares, definimos a composição como sendo:

Propriedades da Composição P1) Associativa P2) Distributiva

Propriedades da Composição P3) Elemento Neutro Obs: Em geral, a composição não é comutativa.

Operações com Transformações Lineares Potenciação: definimos a Potenciação por recorrência do seguinte modo:

Operadores Especiais Operador Idempotente: Operador Nilpotente:

Matriz de uma Transformação Linear Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles temos: Bases

Assim É dita Matriz da Transformação Linear T em relação às bases B e G

Isomorfismo Especial Definição: Dados dois espaços vetoriais reais, com dimensões n e m. Existe um isomorfismo tal que: Bases