FUNDAMENTOS DA ANÁLISE I Aula 10: Cortes e Intervalos Prof. Mário Alves

Conteúdo Programático desta aula Espaço Vetorial; Produto interno e Norma; Bola aberta e bola fechada

. ESPAÇO VETORIAL Dizemos que um conjunto é um espaço vetorial sobre R quando, e somente quando: Existe uma adição em V com as seguinte propriedades: Comutativa: Associativa: Existe tal que existe tal que

. ESPAÇO VETORIAL 2) Existe uma multiplicação de R x V em V, o que significa que cada par de R x V está associado a um único elemento de V que indica por e para esta multiplicação temos as seguintes propriedades, para quaisquer : a) b) c) d)

. ESPAÇO VETORIAL Assim, um espaço vetorial é um conjunto munido de duas operações binárias: adição vetorial e multiplicação escalar, onde o elemento u+v é dito vetor soma de u e v, e o elemento é chamado produto de e u. Exemplo: V = R² para - V, munido das operações definidas acima, é um espaço vetorial.

. PRODUTOS INTERNOS Consideremos V um espaço vetorial. Dizemos que a função: é um produto interno (produto escalar) quando satisfaz as seguintes propriedades: 1) 2) 3)

. PRODUTOS INTERNOS 4) e , , Nota: utiliza-se como notação de produto interno também: <.,.> Exemplo: <x,y> = x.y Quando temos um espaço vetorial no qual está definido um produto interno, dizemos então que é um espaço vetorial com produto interno.

. PRODUTOS INTERNOS 4) e , , Nota: utiliza-se como notação de produto interno também: <.,.> Exemplo: <x,y> = x.y Quando temos um espaço vetorial no qual está definido um produto interno, dizemos então que é um espaço vetorial com produto interno.

PRODUTOS INTERNOS Em , podemos definir um produto interno da forma: . PRODUTOS INTERNOS Em , podemos definir um produto interno da forma: Esse produto é chamado de produto interno canônico. Dizemos que um espaço vetorial em munido com o produto interno é um espaço euclidiano e representa por .

. NORMA Seja V um espaço vetorial. Dizemos quem uma norma em V é uma função em R, isto é e que satisfaz: 1) , ; ; , ; , . Percebemos que tal conceito está ligado ao conceito de comprimento de um vetor e/ou distância entre dois pontos.

. NORMA Todo produto interno <,> de induz uma norma || || em . Esta norma é dita norma euclidiana que, para cada , associa a . Um espaço vetorial no qual está definida uma norma é dito espaço normado. Exemplo: Em , podemos definir uma norma da forma:

MÉTRICA Chamamos de métrica em A a aplicação: . MÉTRICA Chamamos de métrica em A a aplicação: Assim, o espaço vetorial com métrica definida por uma norma é denominado espaço vetorial métrico induzido pela norma, ou somente Espaço Métrico.

. ESPAÇO CARTESIANO Chamamos de espaço cartesiano real p-dimensional ao conjunto munido: Da adição vetorial e da multiplicação por escalar: (x1, x2,... xp ) + (y1, y2, ..., yp) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xp + yp) 2) Do produto interno: 3) Este produto interno produz a norma Obs.: Os números reais são ditos coordenadas ou componentes do vetor

BOLA ABERTA, BOLA FECHADA E ESFERA . BOLA ABERTA, BOLA FECHADA E ESFERA Sejam , : 1) Dizemos que o conjunto é uma bola aberta de centro x e raio r; Dizemos que o conjunto é uma bola fechada de centro x e raio r; Dizemos que o conjunto é uma esfera de centro x e raio r.

CONJUNTOS ABERTOS E FECHADOS . CONJUNTOS ABERTOS E FECHADOS - Uma bola aberta de centro x e raio r é também chamada de vizinhança de x e indicada por N(x,r) = ou ainda, utilizando a noção de distância, . - Diz-se que um ponto é dito ponto interior de um conjunto , se existe uma vizinhança de x totalmente contida em A, ou seja, tal que . - Analogamente, será ponto exterior deste conjunto se existe uma vizinhança de x inteiramente contida no complementar de A, ou ainda, tal que .

CONJUNTOS ABERTOS E FECHADOS . CONJUNTOS ABERTOS E FECHADOS Se toda vizinhança N(x,r) de centro x e raio r contém em ponto G e um ponto do complementar de G ( ), diz-se que x é um ponto fronteira de G. Diz-se que A é um conjunto fechado se e somente se contém todos os seus pontos fronteira. Diz-se que A é um conjunto aberto se e somente se A não contém nenhum de seus pontos fronteira.

CONJUNTOS ABERTOS E FECHADOS . CONJUNTOS ABERTOS E FECHADOS Propriedade de Conjuntos Fechados: A união de dois conjuntos fechados quaisquer é fechada em ; e A interseção de qualquer coleção de conjuntos fechados é fechada em .

. PONTO DE ACUMULAÇÃO Diz-se que é ponto de acumulação de se toda vizinhança de x - - contem pelo menos um ponto de A distinto de x.