Probabilidade e Estatística Aplicadas à Contabilidade I Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes 1

Introdução à Probabilidade Capítulo 4 Parte A 2

Introdução à Probabilidade Experimentos, Regras de Contagem e Atribuindo Probabilidades Eventos e suas Probabilidades Algumas Relações Básicas de Probabilidade Probabilidade Condicional Teorema de Bayes 3

Probabilidade como uma medida numérica da possibilidade de ocorrência de um evento ,5 Possibilidade Crescente de Ocorrência Probabilidade: O evento é muito raro de ocorrer. A ocorrência do evento é tão provável quanto improvável. O evento é quase certo de ocorrer.

Um experimento e seu espaço amostral Um experimento é um processo que gera resultados bem definidos O espaço amostral de um experimento é o conjunto de todos os resultados experimentais Um resultado experimental também é chamado de ponto amostral para identificá-lo como um elemento do espaço amostral 5

Exemplo: Investimentos de Bradley Bradley tem investido em duas ações, Markley Petróleo e Collins Mineração. Bradley determinou que os possíveis resultados desses investimentos de três meses a partir de agora são os seguintes 6 Investimento Ganho ou Perda em 3 Meses (em $mil) Markley Pet. Collins Miner

Regra de Contagem para Experimentos em Múltiplas Etapas Se um experimento pode ser descrito como uma sequência de k etapas com n 1 resultados possíveis na primeira etapa, n 2 resultados possíveis na segunda etapa e assim por diante, o número total de resultados experimentais será dado por (n 1 ) (n 2 )...(n k ) Uma representação gráfica útil de um experimento em múltiplas etapas é o diagrama em árvore 7

Regra de Contagem para Experimentos em Múltiplas Etapas Os investimentos de Bradley podem ser vistos como um experimentos em duas etapas. Envolvendo duas ações, cada uma com um conjunto de resultados experimentais 8 Markley Pet.:n 1 = 4 Collins Miner.:n 2 = 2 Número Total de Resultados Experimentais:n 1 n 2 = (4)(2) = 8

Diagrama em Árvore 9 Ganho 5 Ganho 8 Ganho 10 Ganho 8 Perda 20 Perda 2 EmpateEmpate Markley Pet. (Etapa 1) Collins Miner. (Etapa 2) ResultadosExperimentais (10, 8) Ganho $ (10, -2) Ganho $8.000 (5, 8) Ganho $ (5, -2) Ganho $3.000 (0, 8) Ganho $8.000 (0, -2) Perda $2.000 (-20, 8) Perda $ (-20, -2) Perda $22.000

Regra de Contagem de Combinações 10

Regra de Contagem de Permutações 11

Atribuindo Probabilidades Método Clássico: atribui probabilidades baseado no pressuposto de que todos os resultados experimentais são igualmente prováveis Método da Frequência Relativa: atribui probabilidades baseado na experimentação ou dados históricos Método Subjetivo: atribui probabilidades baseado no julgamento (grau de confiança) 12

Método Clássico Se n resultados experimentais são possíveis, a probabilidade de 1/n é atribuída a cada resultado experimental Exemplo Experimento: rolar o dado Espaço Amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Probabilidades: cada ponto amostral tem 1/6 chance de ocorrer 13

Método da Frequência Relativa Exemplo: Aluguel de Ferramentas A empresa de aluguel de ferramentas gostaria de atribuir probabilidades para o número de polidores de automóveis que aluga cada dia. Os registros mostram as seguintes frequências de aluguéis diários dos últimos 40 dias 14 Número de Polidores Alugados Número de Dias

Método da Frequência Relativa Cada atribuição de probabilidade é dada pela divisão da frequência (número de dias) pela frequência total (número total de dias). 15 4/404/40 Probabilidade Número de Polidores Alugados Número de Dias ,10 0,10 0,15 0,15 0,45 0,45 0,25 0,25 0,05 0,051,00

Método Subjetivo Quando as condições económicas e a situação de uma empresa mudar rapidamente, pode ser inadequado para atribuir probabilidades com base apenas em dados históricos Podemos usar todos os dados disponíveis, bem como nossa experiência e intuição, mas no final um valor de probabilidade deve expressar o nosso grau de confiança de que o resultado experimental ocorrerá As melhores estimativas de probabilidade muitas vezes são obtidas através da combinação das estimativas da abordagem clássica ou de frequência relativa com a estimativa subjetiva 16

Método Subjetivo Aplicando o método subjetivo, os analistas atribuíram as seguintes probabilidades 17 Resultado Exper. Ganho ou Perda Probabilidade (10, 8) (10, -2) (5, 8) (5, -2) (0, 8) (0, -2) (-20, 8) (-20, -2) $ Ganho $ Ganho $8.000 Ganho $8.000 Ganho $ Ganho $ Ganho $3.000 Ganho $3.000 Ganho $8.000 Ganho $8.000 Ganho $2.000 Perda $2.000 Perda $ Perda $ Perda $ Perda $ Perda 0,200,080,160,260,100,120,020,06

Eventos e suas Probabilidades Um evento é um conjunto de pontos amostrais A probabilidade de um evento é igual à soma das probabilidades dos pontos amostrais do evento Sempre que podemos identificar todos os pontos amostrais de um experimento e atribuir probabilidades a cada um, temos condições de calcular a probabilidade de determinado evento 18

Eventos e suas Probabilidades 19 Evento M = Markley Petróleo ser Lucrativa M = {(10, 8), (10, -2), (5, 8), (5, -2)} P(M) = P(10, 8) + P(10, -2) + P(5, 8) + P(5, -2) = 0,20 + 0,08 + 0,16 + 0,26 = 0,70

Eventos e suas Probabilidades 20 Evento C = Collins Mineração ser Lucrativa C = {(10, 8), (5, 8), (0, 8), (-20, 8)} P(C) = P(10, 8) + P(5, 8) + P(0, 8) + P(-20, 8) = 0,20 + 0,16 + 0,10 + 0,02 = 0,48

Alguma Relações Básicas de Probabilidade Existem algumas relações de básicas de probabilidade que podem ser usadas ​​para calcular a probabilidade de um evento sem conhecimento de todas as probabilidades dos pontos amostrais Complemento de um Evento União de Dois Eventos Interseção de Dois Eventos Eventos Mutuamente Exclusivos 21

Complemento de um Evento O complemento de um evento A é definido como o evento que consiste em todos os pontos amostrais que não estão em A O complemento de A é denotado como A c P(A) + P(A c ) = 1 22 Evento AAcAc Diagrama de Venn Espaço Amostral S

União de Dois Eventos 23 Evento A Evento B Espaço Amostral S

União de Dois Eventos 24 Evento M = Markley Petróleo ser Lucrativa Evento C = Collins Mineração ser Lucrativa = 0,20 + 0,08 + 0,16 + 0,26 + 0,10 + 0,02 = 0,82

Interseção de Dois Eventos 25 Evento A Evento B Espaço Amostral S Interseção de A e B

Interseção de Dois Eventos 26 Evento M = Markley Petróleo ser Lucrativa Evento C = Collins Mineração ser Lucrativa = 0,20 + 0,16 = 0,36

Lei da Adição 27

Lei da Adição 28 Evento M = Markley Petróleo ser Lucrativa Evento C = Collins Mineração ser Lucrativa = 0,82 (Mesmo resultado do cálculo anterior)

Eventos Mutuamente Exclusivos Dois eventos são mutuamente exclusivos se os eventos não possuem pontos amostrais em comum Dois eventos são mutuamente exclusivos se, quando um evento ocorrer, o outro não pode ocorrer também 29 Evento A Evento B Espaço Amostral S

Eventos Mutuamente Exclusivos 30

Probabilidade Condicional 31

Probabilidade Condicional 32 Evento M = Markley Petróleo ser Lucrativa Evento C = Collins Mineração ser Lucrativa P(C | M) = Collins Mineração Lucrativa dado Markley Petróleo Lucrativa = 0,5143

Lei da Multiplicação 33

Lei da Multiplicação 34 Evento M = Markley Petróleo ser Lucrativa Evento C = Collins Mineração ser Lucrativa Sabemos: P(M) = 0,70, P(C | M) = 0,5143 = 0,36 (Mesmo resultado do cálculo anterior)

Eventos Independentes 35

Lei da Multiplicação para Eventos Independentes 36

Lei da Multiplicação para Eventos Independentes 37 Evento M = Markley Petróleo ser Lucrativa Evento C = Collins Mineração ser Lucrativa Por isso: M e C não são independentes

Exercícios Capítulo 4 – Parte A Exercícios: 8, 9, 10, 11, 18, 19, 20, 21, 24, 25, 26, 28, 32, 34, 35, 37 38

Obrigado pela Atenção!!! Lista de Exercícios do Capítulo 4 Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes 39