ESPAÇOS VETORIAIS

OPERAÇÕES E PROPRIEDADES Um espaço vetorial consiste em um sistema formado por dois conjuntos R = {, , , ...} e V = {a, b, c}. No conjunto R, denominado conjunto dos operadores, são definidas duas operações, que indicaremos por  e . No conjunto V, chamado de conjunto de vetores, é definida a operação @. a b c V    R   operadores ou escalares operação externa  @ vetores Uma operação externa (), que opera com um elemento de cada conjunto é também definida para esse sistema. (  a)  V

Para as operações de R e V devem valer as propriedades: (1)     R e     R a @ b  V (fechamento) (2) (  )   =   (  ) e (  )   =   (  ) (a @ b) @ c = a @ (b @ c) (associativa) (3)    =    =  e    =    =  a @ n = n @ a = a (elemento neutro) (4)   ’ = ’   =  e para   ,   ’’ = ’’   = V a@ a’ = a’ @ a = n (elemento inverso) (5)    =    e    =    a @ b = b @ a (comutativa) (6)   (  ) = (   )  (  ) (distributiva de  em relação a ) Estas propriedades caracterizam R como um corpo e V como um grupo comutativo.

Além das propriedades citadas, devem também ser verificados os axiomas: A1 -   (a @ b) = (  a) @ (  b) A2 – (  )  a = (  a)  (  a) A3 – ( @ )  a =   (  a) A4 –   a = a e ’  a = a’ A5 – n  a = 0, sendo 0 um elemento de V. EXEMPLO R – conjunto dos reais com as operações adição e multiplicação (corpo dos reais). V – conjunto das matrizes quadradas com a operação adição.  - operação externa – multiplicação de número real por matriz.

SUBESPAÇO VETORIAL Seja V um espaço vetorial. Todo subconjunto V’ de V que verifica as propriedades (1) 0  V', sendo 0 o vetor nulo. (2) au  V', para todo escalar a de R e para todo vetor u de V'. (3) u + v  V' , para todo u e v de V'. é denominado subespaço vetorial. Os conjuntos {0} e V são denominados subespaços vetoriais próprios de V. Exemplo: O conjunto das matrizes A = [aij]2x2, é um espaço vetorial sobre R. (Verifique). Se tomarmos o subconjunto A' = [aij]2x2, tais que aij = x  R se i = j = 1 e aij = 0 para i  1 e j  1, este subconjunto será um subespaço vetorial de A.

Verificando: 0 0 (1) 0 = pois 0  A. a 0 0 0 0 0 (1) 0 = pois 0  A. (2) Seja k um nº real e M = uma matriz de A. a 0 0 0 kM =  A. Ka 0 0 0 (3) Sejam M1 = e M2 = a 0 0 0 b 0 M1 + M2 =  A. a + b 0 0 0

EXERCÍCIOS: 01 - Verifique se cada conjunto abaixo é ou não um subespaço de R2 sobre R. a) {(x1, x2) | x1 + x2 = 0}  b) {(x1, x2) | x1x2 = 0} c) {(x1, x2) | x1 = 3x2}  d) {(x1, x2) | x1 = 3x2 + 1} Indicaremos cada subconjunto por V. (a) (1) 0 = (0, 0)  V pois 0 + 0 = 0. (2) Seja os vetores (a, b) e (c, d) tais que a + b = 0 e c + d = 0. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Para a + b = 0 e c + d = 0, devemos ter a = - b e c = - d. Assim, a + c = - b – d Portanto, (a + c, b + d) = (- b – d, b + d) e (–b – d) + (b + d) = 0. Deste modo (a + c, b + d)  V (3) k.(a, b) = (ka, kb). Como a + b = 0, ka + kb = k(a + b) = k.0 = 0.  k(a, b)  V V = {(x1, x2) | x1 + x2 = 0} é um subespaço vetorial de R2.

b) {(x1, x2) | x1x2 = 0} (1) 0 = (0, 0)  V pois 0.0 = 0. (2) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)  V Para que x1.x2 seja igual a zero basta que um deles seja zero. Temos, por exemplo, (0, 4) e (2, 0) ambos pertencentes a V. (0, 4) + (2, 0) = (2, 4) que não pertence a V, pois 2.4  0. Portanto, V não é subespaço vetorial. c) {(x1, x2) | x1 = 3x2}  (1) 0 = (0, 0)  V pois 0 = 3.0. (2) Os vetores de V têm a forma (3x, x) pois x1 = 3x2. (3x, x) + (3y, y) = (3x + 3y, x + y) 3x + 3y = 3(x + y)  a soma dos vetores pertencem a V. (3) k.(3x, x) = (3kx, kx). Como 3kx = 3.(kx), k.(3x, x)  V. V = {(x1, x2) | x1 = 3x2} é um subespaço vetorial.

d) {(x1, x2) | x1 = 3x2 + 1} (1) 0 = (0, 0)  V pois 0  3.0 + 1. V = {(x1, x2) | x1 = 3x2 + 1} não é subespaço vetorial de R2. 2 - Seja S o conjunto das matrizes 2x2 e A uma matriz particular de S. Determine se cada conjunto abaixo é ou não um subespaço vetorial das matrizes 2x2. a) V = {B  S | AB = BA} b) V = {B  S | AB  BA} c) V = {B  S | BA = 0} onde 0 é a matriz nula (aij = 0, quaisquer que sejam i e j) a) V = {B  S | AB = BA} 0 0 (1) 0 =  V pois 0.A = A.0 = 0. (2) Sejam B1 e B2 matrizes de B. Isto é AB1 = B1A e AB2 = B2A. A.(B1 + B2) = AB1 + AB2 = B1A + B2A = (B1 + B2).A. Portanto, B1 + B2 pertencem a V pois comuta com A. (3) (kB).A = k.(A.B) = (KA).B. Como kB comuta com A, kB  V V = {B  S | AB = BA} é um subespaço vetorial e de S.

b) V = {B  S | AB  BA} Não é um subespaço vetorial pois a matriz nula não pertence a V uma vez que ela comuta com qualquer outra matriz. c) V = {B  S | BA = 0} onde 0 é a matriz nula (aij = 0, quaisquer que sejam i e j) 0 0 (1) 0 =  V pois 0.A = 0. (2) Sejam B1 e B2 tais que B1A = 0 e B2A = 0. (B1 + B2).A = B1.A + B2.A = 0 + 0 = 0. Portanto, (B1 + B2)  V (3) (kB1).A = k.(B1.A) = k.0 = 0. Portanto, kB1  V. V = {B  S | BA = 0} é um subespaço vetorial.