Espaços Vetoriais 1) Existe uma adição com as seguintes propriedades: Definição: Denomina-se espaço vetorial sobre um corpo ao conjunto , tal que: 1) Existe uma adição com as seguintes propriedades: A1) Associativa: A2) Comutativa: A3) Elemento Neutro: A4) Elemento Oposto:

2) Existe uma Multiplicação por Escalar, com as seguintes propriedades: Notação:

Os elementos do conjunto dos reais são chamados ESCALARES. Observações: Os elementos do conjunto dos reais são chamados ESCALARES. Os elementos do Espaço Vetorial são chamados VETORES. Nesta disciplina estaremos sempre trabalhando com Espaços Vetoriais Reais.

Exemplos de Espaços Vetoriais O conjunto de vetores do plano. A reta real. O espaço vetorial , sendo as operações definidas da seguinte forma: Adição: Multiplicação por Escalar:

O conjunto das n-uplas reais, com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. O conjunto das matrizes com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais das matrizes.

O conjunto dos polinômios de grau  n

Contra-Exemplos Considere o conjunto dos números reais e as operações abaixo definidas: e Observe que a operação não satisfaz a propriedade (M4), pois

Observe que a operação não satisfaz a propriedade (M2), pois Considere o conjunto dos pares ordenados do plano cartesiano e as operações abaixo definidas: e Observe que a operação não satisfaz a propriedade (M2), pois

Exercícios Verifique se o conjunto abaixo, com as operações definidas é um espaço vetorial:

Sejam e dois espaços vetoriais reais Sejam e dois espaços vetoriais reais. Mostre que é um espaço vetorial em relação às operações: e

PROPRIEDADES: Seja O vetor nulo (ou elemento neutro da adição) é sempre único. Para cada vetor , existe um único vetor tal que , em outras palavras, o vetor oposto de u é único. .

. Se e , então sendo que

SUBESPAÇO VETORIAL Teorema: Um subconjunto não vazio Definição: Um subconjunto não vazio é dito subespaço vetorial real de (espaço vetorial) se ele próprio é um espaço vetorial real considerando as operações restritas a ele. Teorema: Um subconjunto não vazio é um subespaço vetorial real se, e somente se: i) ii) iii)

Exemplo e Contra-Exemplo de Subespaços Vetoriais . W é subespaço vetorial W não é subespaço vetorial Exercício: Verifique se o subconjunto é um subespaço vetorial real.