Álgebra Linear Produto Interno Prof. Paulo Salgado psgmn@cin.ufpe.br

Sumário Produto Interno Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt Complemento Ortogonal

Produto Interno Definição: Seja V um espaço vetorial. Um produto interno sobre V é uma função que a cada par de vetores v1 e v2 associa-se um número, <v1,v2>, satisfazendo: i) <v, v>  0, para todo v e <v, v> = 0, se, e somente se v = 0 ii) <v1, v2> = <v1, v2>,  real iii) <v1 + v2, v3> = <v1, v3> + <v2, v3> iv) <v1, v2> = <v2, v1> Ex: v1 = (x1, x2, x3) e v2 = (y1, y2, y3) <v1, v2> = x1.y1 + x2.y2 + x3.y3 produto usual de vetores no R3 Como seria para o Rn?

Produto Interno Definição: Seja V um espaço vetorial com produto interno < , >. Diz-se que dois vetores v e w de V são ortogonais (em relação a esse produto interno) se <v, w> = 0 No caso, escrevemos v  w Propriedades: i) 0  v, para todo v  V ii) v  w implica que w  v iii) Se v  w, para todo w  V, então v = 0 iv) Se v1  w e v2  w, então v1 + v2  w v) Se v  w e λ é um escalar, então λv  w 4

Produto Interno Teorema: Seja {v1, ..., vn} um conjunto de vetores não nulos dois a dois ortogonais, isto é: <vi, vj> = 0, para todo i  j então {v1, ..., vn} é LI Definição: Diz-se que uma base {v1, ..., vn} de V é base ortogonal se <vi, vj> = 0, para todo ij. Isto é, os vetores da base são dois a dois ortogonais 5

Norma Definição: Seja V um espaço vetorial com produto interno < , >. Definimos a norma (ou comprimento) de um vetor v em relação a esse produto interno como ||v|| = √<v, v> = √x12 + x22 + x32 no caso do R3 Se ||v|| = 1, isto é, <v, v> = 1, v é chamado de vetor unitário (diz-se que v está normalizado) Propriedades: i) ||v||  0 e ||v|| = 0, sse, v = 0 ii) ||v|| = ||.||v||,  real iii) |<v, w>|  ||v||.||w|| (Desigualdade de Schwarz) iv) ||v + w||  ||v|| + ||w|| (Desigualdade Triangular) 6

Ângulo entre Dois Vetores Existe um ângulo θ entre 0 e π radianos tal que: cos θ = <v, w> / (||v||.||w||) 7

Chamados de coeficientes de Fourier Base Ortonormal Definição: Seja V um espaço vetorial com produto interno. Diz-se que uma base  = {v1, ..., vn} de V é ortonormal se for ortogonal e cada vetor for unitário, isto é: <vi, vj> = 0, se i  j 1, se i = j Observe que, se tivermos uma base ortonormal  = {v1, ..., vn}, os coeficientes xi de um vetor w=x1v1+...+xnvn são dados por: <w, vi> = <x1v1+...+xnvn, vi> → <w, vi> = <xivi, vi> xi = <w, vi> / <vi, vi> = <w, vi> Chamados de coeficientes de Fourier 8

Base Ortonormal Exemplo: Seja V = R2 e < , > o produto interno usual e  = {(1, 0), (0, 1)} uma base ortonormal, temos x1 = <v, e1> e x2 = <v, e2> Faça para qualquer vetor v 9

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt A partir de uma base qualquer de um espaço vetorial existe um processo para se obter uma base ortonormal Vamos entender o processo para uma base  = {v1, v2} e depois generalizaremos o processo... 10

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt Seja v1’ = v1 Precisamos encontrar, a partir de v2 um novo vetor v2’ ortogonal a v1’, isto é: <v2’, v1’> = 0 Para isso, tomamos v2’ = v2 – c.v1’, onde c é um número escolhido de modo que <v2’,v1’>=0, isto é, <v2 – c.v1’, v1’>=0 Então: <v2’,v1’>=<v2 – c.v1’, v1’>=<v2,v1’>-<c.v1’,v1’> Isso significa que c = <v2, v1’> <v1’, v1’> 11

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt v2’ = v2 – c.v1’ 12

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt Ficamos então com v1’ = v1 v2’ = v2 – (<v2, v1’>/<v1’, v1’>). v1’ Observe que v2’ foi obtido de v2, subtraindo deste a projeção do vetor v2 na direção de v1’ (<v2, v1’>/<v1’, v1’>). v1’ e que v1’ e v2’ são vetores ortogonais não nulos Podemos então normalizá-los: u1 = v1’/||v1’|| e u2 = v2’/||v2’||  = {u1, u2} é ortonormal 13

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt Exemplo: Seja  = {(2,1), (1,1)} uma base do R2 Vamos obter a partir de  uma base ortonormal em relação ao produto interno usual Sejam v1 = (2, 1) e v2 = (1, 1) v1’ = v1 = (2, 1) v2’ = v2 – (<v2, v1’>/<v1’, v1’>). v1’ v2’ = (1,1) – (<(1,1), (2,1)>/<(2,1),(2,1)>). (2,1)=( -1, 2) Normalizando os vetores temos: u1= v1’/||v1’|| = (2/√5,1/√5) e u2=v2’/||v2’||= (-1/√5,2/√5)  = {u1, u2} é uma base ortonormal 5 5 14

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt De maneira geral, a partir de uma base = {v1, ..., vn} de um espaço vetorial V, construímos a base ortonormal {v1’, ..., vn’} dada por: v1’ = v1 v2’ = v2 – (<v2, v1’>/<v1’, v1’>).v1’ v3’=v3 - <v3,v2’>.v2’ - <v3,v1’>.v1’ .... vn’ = vn – (<vn, vn-1’>/<vn-1’, vn-1’>).vn-1’ – .... – (<vn,v1’>/<v1’,v1’>).v1’ Esse procedimento é conhecido como processo de ortogonalização de Gram-Schmidt <v2’,v2’> <v1’,v1’> 15

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt Se quisermos obter uma base ortonormal basta normalizarmos os vetores vi’ Isto é, tomando ui = vi’/||vi’||, obtemos a base de vetores ortonormais {u1, ..., un} 16

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt Exemplo 1: Seja ={(1,1,1),(0,2,1),(0,0,1)} uma base de R3 Vamos obter a partir de  uma base ortonormal em relação ao produto interno Sejam: v1 = (1, 1, 1) v2 = (0, 2, 1) v3 = (0, 0, 1) Temos: v1’ = v1 = (1, 1, 1) 17

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt Cont. Exemplo 1: v2’ = v2 – <v2, v1’>.v1’ v2’ =(0,2,1)–(<(0,2,1),(1,1,1)>/<(1,1,1),(1,1,1)>).(1,1,1) v2’ = (-1, 1, 0) v3’ =v3 – <v3,v2’>.v2’ – <v3,v1’>.v1’ v3’=(0,0,1)–(<(0,0,1),(-1,1,0)>/<(-1,1,0),(-1,1,0)>).(-1,1,0) – (<(0,0,1),(1,1,1)>/<(1,1,1,),(1,1,1>).(1,1,1) v3’ = (-1/3, -1/3, 2/3) <v1’,v1’> <v2’,v2’> <v1’,v1’> 18

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt Cont. Exemplo 1: Normalizando: u1 = (1/√3, 1/√3, 1/√3) u2 = (-1/√2, 1/√2, 0) u3 = (-1/√6, -1/√6, 2/√6) e  = {u1, u2, u3} é uma base ortonormal Poderíamos gerar um outra base ortonormal a partir de v2 ou v3 (por exemplo, fazendo v1’=v3) 19

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt Exemplo 2: Seja  = {(1,0), (0,1)} a base canônica de R2 Vamos obter a partir de  uma base ortonormal em relação ao produto interno de R2, definido por <(x1, y1),(x2, y2)> = 2x1x2 – x1y2 – x2y1 + y1y2 Sejam v1 = (1, 0) e v2 = (0, 1) v1’ = (1,0)  u1 = (1/√2, 0) (normalizando) v2’ = v2 – (<v2, v1’>/<v1’, v1’>).v1’ = (½, 1)  u2 = (√2/2, √2) (normalizando)  = {u1, u2} é uma base ortonormal 20

Complemento Ortogonal Consideremos um espaço vetorial V munido de um produto interno < ,> e um subconjunto não-vazio S de V (S não é necessariamente um subespaço) Consideremos então o subconjunto de V: S = {vV: v é ortogonal a todos os vetores de S} S é chamado de complemento ortogonal de S 21

Produto Interno Exemplo: (Exercício 5) Seja  = {(1,1,0), (1,0,1), (0,2,0)}. Ache uma base ortonormal ’ de R3, em relação ao produto interno usual. Solução: v1’ = (1, 1, 0) v2’ = v2 - <v2, v1’> .v1’ = (1/2, -1/2, 1) v3’ =v3 – <v3,v2’>.v2’ – <v3,v1’>.v1’ v3’ = (-4/5, 4/5, 2/5) <v1’, v1’> <v2’,v2’> <v1’,v1’> 22

Produto Interno Exemplo: (Exercício 8) Seja W  R3 o subespaço gerado por (1, 0, 1) e (1, 1, 0). a) Considere W em relação ao produto interno canônico. Encontre uma base para W. Solução: W = conjunto de vetores ortogonais a todos os vetores de W: {(x,y,z) | <(x,y,z),(1,0,1)> = 0 e <(x,y,z),(1,1,0)> = 0} <(x,y,z),(1,0,1)> = 0  x + z = 0  z = -x <(x,y,z),(1,1,0)> = 0  x + y = 0  y = -x W = (x, -x, -x)  [(1, -1, -1)] 23

Exercícios Sugeridos 2 4 6 7 8b 9 10 11 13 24

Hoje vimos... Produto Interno Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt Complemento Ortogonal

Tipos Especiais de Operadores Lineares A Seguir... Tipos Especiais de Operadores Lineares E é o último!!!! 26